Вдоль оси длинного цилиндрического канала, вырезанного в проводнике, пролетает тонкий стержень, линейная плотность заряда которого \(\rho\). Длина стержня \(l\) много больше радиусов \(R_1\) и \(R_2\). Вдали от области сужения канала справа скорость стержня \(v_0\). Найдите скорость стержня вдали от области сужения канала слева. Масса стержня \(m\).
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Тонкий стержень с линейной плотностью \(\rho\) в цилиндрическом канале радиуса \(R_{\text{кан}}\) имеет энергию единицы длины \[ w=\frac{\rho^2}{4\pi\varepsilon_0}\ln\frac{R_{\text{кан}}}{a}, \] где \(a\) — собственный радиус стержня (он сократится). Разница энергий стержня длины \(l\) в каналах \(R_1\) и \(R_2\) \[ \Delta W=\frac{\rho^2 l}{4\pi\varepsilon_0}\ln\frac{R_1}{R_2}. \]
Баланс энергии. Справа, вдали от сужения, скорость \(v_0\); слева — искомая \(v\): \[ \frac{mv^2}{2}=\frac{mv_0^2}{2}-\frac{\rho^2 l}{4\pi\varepsilon_0}\ln\frac{R_1}{R_2}, \] \[ v=v_0\sqrt{1-\frac{\rho^2 l}{2\pi\varepsilon_0 m v_0^2}\ln\frac{R_1}{R_2}}. \]
Знак: если \(R_1>R_2\) (влетаем из широкого канала в узкий), логарифм положителен и стержень тормозит — так написано в задачнике. Стержень много длиннее радиусов, сужение короткое: сила действует только на «ступеньку» заряда в зоне неоднородности, и её работа равна \(\Delta W\).
Собственный радиус стержня \(a\) сократился: он один и тот же слева и справа. Если стержень не тонкий и \(a\) сравнимо с \(R_2\), логарифмическое приближение ломается, и нужна точная ёмкость коаксиала. Условие \(l\gg R_{1,2}\) как раз и позволяет не считать «шапку» поля на торцах стержня: её энергия одна и та же в обоих каналах.