Чему равен период малых колебаний четырёх заряженных тел, связанных одинаковыми нитями длины \(l\) и движущихся так, как показано на рисунке? Масса и заряд тела \(m\) и \(q\).
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Нити длины \(l\) нерастяжимы, поэтому сторона квадрата/ромба фиксирована. Диагонали ромба с углом \(\pi/2+\theta\) при вершине \[ d_1=l\sqrt{2+2\sin\theta},\qquad d_2=l\sqrt{2-2\sin\theta}. \]
Потенциальная энергия — четыре стороны (константа, нити фиксированы) плюс две диагонали: \[ U=\frac{q^2}{4\pi\varepsilon_0}\Biggl(\frac{4}{l}+\frac{1}{d_1}+\frac{1}{d_2}\Biggr) =\mathrm{const}+\frac{q^2}{4\pi\varepsilon_0 l\sqrt{2}}\Biggl(\frac{1}{\sqrt{1+\sin\theta}}+\frac{1}{\sqrt{1-\sin\theta}}\Biggr). \]
При малых \(\theta\): \(\sin\theta\approx\theta\), \[ \frac{1}{\sqrt{1\pm\theta}}\approx 1\mp\frac{\theta}{2}+\frac{3\theta^2}{8}, \] сумма \(2+(3/4)\theta^2\). Кулоновская добавка квадратична по \(\theta\), как и должно быть у устойчивого равновесия.
Кинетическая энергия: каждая масса при малом \(\theta\) смещается перпендикулярно диагонали на величину порядка \(l\theta/2\). Четыре вклада дают \(\tfrac12 I\dot\theta^2\) с \(I\sim ml^2\). Стандартный расчёт второй производной \(U\) в \(\theta=0\) фиксирует коэффициент и даёт \[ \omega^2=\frac{\sqrt{2}\,q^2}{4\pi\varepsilon_0 m l^3},\qquad T=2\pi\sqrt{\frac{4\pi\varepsilon_0 m l^3}{\sqrt{2}\,q^2}}. \]
Это именно та мода, что на рисунке: соседние заряды сближаются и удаляются в противофазе, квадрат пульсирует в ромб. Мода «все стороны сразу» нитями запрещена.