Плазма состоит из электронов и тяжёлых положительно заряженных ионов. Число электронов и ионов в единице объёма одинаково и равно \(n\). В слое плазмы толщины \(h\) всем электронам сообщили одинаковую скорость \(v\) в направлении, перпендикулярном слою. Через какое время основная масса электронов остановится электрическими силами, если: а) \(v\gg h e\sqrt{n/m_e}\); б) \(v\ll h e\sqrt{n/m_e}\), где \(e,\,m_e\) — заряд и масса электрона? Оцените в обоих случаях частоту колебания электронов.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Ионы тяжёлые, за время процесса неподвижны. В слое толщины \(h\) плотность электронов и ионов \(n\). Всем электронам слоя дали скорость \(v\) по нормали.
а. Быстрые электроны, \(v\gg he\sqrt{n/m_e}\). Они вылетают из слоя целиком. Остаётся ионная пластина с поверхностной плотностью \(\sigma=neh\). Поле вне пластины (в СИ, пластина в обе стороны) \[ E=\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}=\frac{neh}{2\varepsilon_0}. \]
Это поле постоянно и тормозит облако электронов как целое: \[ a=\frac{eE}{m_e}=\frac{ne^2 h}{2\varepsilon_0 m_e},\qquad t=\frac{v}{a}=\frac{2\varepsilon_0 m_e v}{ne^2 h}. \]
Обратный ход займёт ещё столько же, полный период «туда-обратно-туда-обратно» порядка \(4t\), частота \[ \nu\approx\frac{1}{4t}\approx\frac{ne^2 h}{8\varepsilon_0 m_e v}. \]
Частота падает с ростом \(v\): быстрые электроны улетают далеко, поле их долго разворачивает.
б. Медленные, \(v\ll he\sqrt{n/m_e}\). Смещение \(\xi\) мало по сравнению с \(h\), электроны не выходят из ионов. Нескомпенсированный заряд в слое создаёт поле \(E=ne\xi/\varepsilon_0\) (как у объёмного заряда, одна компонента). Уравнение \[ \ddot\xi=-\frac{ne^2}{\varepsilon_0 m_e}\xi,\qquad \omega_p=\sqrt{\frac{ne^2}{\varepsilon_0 m_e}}. \]
Это плазменная (ленгмюровская) частота. Старт: \(\xi=0\), \(\dot\xi=v\), закон \(\xi=(v/\omega_p)\sin\omega_p t\). Первая остановка — четверть периода: \[ t=\frac{\pi}{2\omega_p}=\frac{\pi}{2}\sqrt{\frac{\varepsilon_0 m_e}{ne^2}},\qquad \nu=\frac{\omega_p}{2\pi}=\frac{1}{4t}. \]
Порог между режимами: максимальное смещение в колебаниях \(v/\omega_p\) сравнивается с \(h\), то есть \(v\sim\omega_p h\sim he\sqrt{n/(\varepsilon_0 m_e)}\). В условии \(\varepsilon_0\) под корнем нет — смесь СИ и оценки по порядку; для ответа это не важно.