Три заряженных тела одинаковой массы, разлетаясь, образуют всегда равнобедренный треугольник с углами \(\alpha\) при вершине. Во сколько раз заряд тела, расположенного в вершине треугольника, больше заряда тела в его основании?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Три тела одинаковой массы \(m\). В вершине заряд \(Q\), в основании два заряда \(q\). Треугольник равнобедренный с углом \(\alpha\) при вершине и остаётся таким. Центр масс лежит на медиане (она же биссектриса и высота).
Пусть основание \(2b\), боковые стороны \(a=b/\sin(\alpha/2)\), высота \(h=b\operatorname{ctg}(\alpha/2)\). Массы равны, и два тела из трёх сидят в основании, поэтому центр масс — на высоте \[ y_{\text{см}}=\frac{2\cdot 0+1\cdot h}{3}=\frac{h}{3} \] от основания, то есть в \(2h/3\) от вершины.
Ускорение каждой вершины — сумма кулоновских сил, делённая на \(m\). Чтобы треугольник оставался подобным, вектор ускорения каждой массы должен смотреть от СМ (или к СМ), и \(|\mathbf{a}|\propto\) расстоянию до СМ: тогда \(\ddot{\mathbf{r}}_i=\lambda(t)(\mathbf{r}_i-\mathbf{r}_{\text{см}})\), гомотетия сохраняется.
Ускорение вершины. На заряд \(Q\) действуют оба заряда основания, каждый с силой \(kQq/a^2\), где \(k=1/(4\pi\varepsilon_0)\); их сумма направлена вверх по оси и равна \(F_{\text{в}}=2kQq\cos(\alpha/2)/a^2=2kQqh/a^3\) (так как \(\cos(\alpha/2)=h/a\)). Гомотетия требует \(F_{\text{в}}=Cm\cdot\dfrac{2h}{3}\), откуда общий для всех тел коэффициент \(Cm=3kQq/a^3\).
Сила на заряд основания: от собрата — \(kq^2/(2b)^2\) вдоль основания, от вершины — \(kQq/a^2\) вдоль боковой стороны, то есть вектор \(kQq/a^3\), умноженный на смещение от вершины (компоненты \(b\) по горизонтали и \(h\) по вертикали). Вертикальная составляющая \(kQqh/a^3\) сама собой совпадает с требуемой \(Cm\cdot h/3=kQqh/a^3\) — по вертикали гомотетия выполнена при любых зарядах. Всё решает горизонталь: нужно \(Cm\cdot b=3kQqb/a^3\), а есть \(kq^2/(4b^2)+kQqb/a^3\). Приравнивая, \[ \frac{q^2}{4b^2}=\frac{2Qqb}{a^3} \quad\Longrightarrow\quad \frac{Q}{q}=\frac{a^3}{8b^3}=\frac{1}{8\sin^3(\alpha/2)}, \] поскольку \(b/a=\sin(\alpha/2)\).
При \(\alpha=60^\circ\) получается \(Q=q\) — и это отличный знак: равносторонний треугольник из трёх равных зарядов действительно разлетается самоподобно по симметрии. При \(\alpha\to 180^\circ\) треугольник вырождается в отрезок с вершиной посередине, \(Q/q\to 1/8\). При \(\alpha\to 0\) (игла) \(Q/q\to\infty\): далёкая вершина обязана набирать скорость пропорционально своему большому расстоянию от центра масс, и слабость дальнего поля приходится компенсировать огромным зарядом.