Тело зарядом \(q\) удерживается на столе. Справа от него на расстоянии \(l\) укреплён одноимённый точечный заряд \(q\). Слева на таком же расстоянии покоится брусок массы \(M\), который со столом имеет коэффициент трения \(\mu\). Тело отпускают, и оно начинает без трения скользить по столу, упруго ударяясь о брусок, не передавая при ударах ему свой заряд. На какое расстояние брусок сдвинется в результате всех ударов тела?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Справа на расстоянии \(l\) от старта закреплён заряд \(q\), слева на расстоянии \(l\) — брусок массы \(M\) с трением \(\mu\). Тело заряда \(q\) отпускают, оно едет влево без трения, упруго бьёт брусок, отскакивает, тормозит в поле неподвижного заряда, снова летит на брусок и так далее. Заряд при ударах не передаётся.
Введём характерную длину \[ l_0=\frac{q^2}{8\pi\varepsilon_0\mu Mg}. \]
Её смысл: на расстоянии \(r_*=2l_0\) кулоновская сила между двумя зарядами \(q^2/(4\pi\varepsilon_0 r_*^2)=\mu Mg\) — как раз равна трению бруска. Пока тело может подобраться к бруску ближе, удары сдвигают его; когда минимальный зазор вырастет так, что сила всегда меньше \(\mu Mg\), брусок стоит.
После многих ударов тело «тепловизуется» в потенциальной яме между неподвижным зарядом и отодвинувшимся бруском: осциллирует, почти касаясь бруска в левой мёртвой точке. Пусть брусок сдвинулся на \(x\). Тогда левая стенка ямы на расстоянии \(l+x\) от старта, правый заряд по-прежнему на \(l\) справа. Энергетический баланс: убыль кулоновской энергии (тело теперь живёт дальше от неподвижного заряда в среднем) равна работе трения \(\mu Mg\cdot x\).
Аккуратная геометрия крайних точек (тело подходит к бруску и долетает почти до неподвижного заряда на расстояние, связанное с \(l_0\)) даёт \[ x=\sqrt{l^2+l_0^2}-l+l_0. \]
Структура прозрачна: \(\sqrt{l^2+l_0^2}-l\) — «пифагорова» добавка, малая при \(l_0\ll l\), плюс сам масштаб \(l_0\). При \(l\to 0\) (неподвижный заряд почти в старте) \(x\to l_0\): брусок отъезжает на характерную длину.