а. В синхротроне электроны движутся по приблизительно круговой орбите длины \(l=240\) м. Во время цикла ускорения на орбите находится примерно \(n=10^{11}\) электронов, их скорость практически равна скорости света. Чему равен ток?
б. Определите ток, создаваемый электроном, движущимся по орбите радиуса \(r=0{,}5\cdot10^{-10}\) м в атоме водорода.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
а. Синхротрон. Электроны летят почти со скоростью света по кольцу длины \(l=240\) м. Период одного оборота
\[ T=\frac{l}{c}=\frac{240}{3\cdot10^8}=8\cdot10^{-7}\ \text{с}. \]На орбите \(n=10^{11}\) электронов, полный заряд \(Q=ne=10^{11}\cdot1{,}6\cdot10^{-19}=1{,}6\cdot10^{-8}\) Кл. Через любое сечение кольца этот заряд проносится один раз за период, значит
\[ I=\frac{Q}{T}=\frac{nec}{l}=\frac{10^{11}\cdot1{,}6\cdot10^{-19}\cdot3\cdot10^8}{240}=0{,}02\ \text{А}. \]Двадцать миллиампер — ток карманного фонарика, хотя носителей всего сто миллиардов: они просто очень быстрые.
б. Атом водорода. Электрон на первой боровской орбите радиуса \(r=0{,}5\cdot10^{-10}\) м. Кулоновская сила даёт центростремительное ускорение:
\[ \frac{m_ev^2}{r}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{e^2}{r^2}\qquad\Longrightarrow\qquad v=\frac{e}{\sqrt{4\pi\varepsilon_0 m_e r}}. \]Период \(T=2\pi r/v\), ток одного электрона \(I=e/T=ev/(2\pi r)\). Подставляем скорость:
\[ I=\frac{e^2}{2\pi r\sqrt{4\pi\varepsilon_0 m_e r}}. \]Численно удобнее сначала найти боровскую скорость. Известно \(v=\alpha c\approx2{,}2\cdot10^6\) м/с (постоянная тонкой структуры \(\alpha\approx1/137\)). Тогда
\[ T=\frac{2\pi r}{v}=\frac{2\pi\cdot0{,}5\cdot10^{-10}}{2{,}2\cdot10^6}\approx1{,}43\cdot10^{-16}\ \text{с}, \] \[ I=\frac{e}{T}=\frac{1{,}6\cdot10^{-19}}{1{,}43\cdot10^{-16}}\approx1{,}1\cdot10^{-3}\ \text{А}\approx0{,}0012\ \text{А}. \]