Плотность тока в пучке электронов \(j\), скорость электронов \(v\). Определите плотность заряда в пучке.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Возьмём в пучке цилиндр с основанием \(S\), перпендикулярным скорости, и образующей \(v\,dt\). За время \(dt\) через основание пройдёт весь заряд, сидевший в этом цилиндре:
\[ dQ=\rho\cdot S\cdot v\,dt. \]Плотность тока по определению \(j=dQ/(S\,dt)\), поэтому
\[ j=\rho v\qquad\Longrightarrow\qquad\rho=\frac{j}{v}. \]Знак. Если следить за ним аккуратно: у электронов \(\rho=-en<0\), а \(j=-env\) при \(v>0\) (направление скорости электронов). Отношение \(\rho=j/v\) остаётся отрицательным. В задачнике обычно берут модули: плотность заряда по величине равна \(j/v\).
Формула годится и для ионного пучка, и для тока в проводе (там \(v\) — скорость дрейфа). Она же объясняет задачу 8.1.6: при фиксированном потоке частиц \(n\propto1/v\), поэтому \(j=env\) от \(v\) не зависит.