В электронном пучке круглого сечения с начальным радиусом \(r=3\) см скорость электронов \(v=10^8\) м/с при полном токе в пучке \(I=100\) А. Оцените начальную напряжённость электрического поля на поверхности пучка и расстояние, на котором радиус пучка под действием собственного электрического поля увеличится вдвое.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Поле на поверхности. Ток \(I=100\) А при скорости \(v=10^8\) м/с означает линейную плотность заряда
\[ \lambda=\frac{I}{v}=\frac{100}{10^8}=10^{-6}\ \text{Кл/м} \](по модулю; заряд электронов отрицателен). Поле бесконечного цилиндра на его поверхности
\[ E=\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0 r}=\frac{I}{2\pi\varepsilon_0 vr}. \]При \(r=3\) см \(=0{,}03\) м
\[ E=\frac{100}{2\pi\cdot8{,}85\cdot10^{-12}\cdot10^8\cdot0{,}03} =\frac{100}{1{,}67\cdot10^{-4}}\approx6\cdot10^5\ \text{В/м}. \]Раздувание. Электрон на краю пучка получает поперечное ускорение \(a=eE/m_e\). Поле при расширении падает (\(E\propto1/\rho\) при фиксированном \(\lambda\)), но для оценки «во сколько раз вырастет вдвое» достаточно начального поля. За время пролёта \(t=L/v\) поперечное смещение порядка \(r\):
\[ r\sim\frac12 a t^2=\frac{eE}{2m_e}\frac{L^2}{v^2}\qquad\Longrightarrow\qquad L\sim v\sqrt{\frac{2m_er}{eE}}. \]Более аккуратно: уравнение \(m\ddot\rho=e\lambda/(2\pi\varepsilon_0\rho)\) после умножения на \(\dot\rho\) интегрируется. От \(\rho=r\) до \(\rho=2r\) получается коэффициент вроде \(\sqrt{8/3}\):
\[ L\sim\left(\frac{8m_erv^2}{3eE}\right)^{1/2}. \]Числа: \(eE/m_e=1{,}6\cdot10^{-19}\cdot6\cdot10^5/9{,}1\cdot10^{-31}\approx1{,}05\cdot10^{17}\) м/с\(^2\),
\[ L\sim\left(\frac{8\cdot9{,}1\cdot10^{-31}\cdot0{,}03\cdot10^{16}}{3\cdot1{,}6\cdot10^{-19}\cdot6\cdot10^5}\right)^{1/2} \approx0{,}1\ \text{м}. \]