Между двумя параллельными сетками создано тормозящее электрическое поле напряжённости \(E\). По нормали к передней сетке падает широкий пучок электронов, у которого плотность заряда \(\rho_0\), а скорость \(v_0\). Пренебрегая взаимодействием самих электронов, найдите распределение плотности заряда между сетками в случае, если: а) скорость электронов настолько велика, что они проходят сквозь сетки и не возвращаются; б) электроны отражаются полем. Начиная с каких значений \(\rho_0\) во втором случае следует учитывать поле заряда между сетками?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Внешнее поле однородно и тормозит: \(E\) направлено против скорости электронов. Энергия электрона на глубине \(x\)
\[ \frac{m_ev^2}{2}=\frac{m_ev_0^2}{2}-eEx\qquad\Longrightarrow\qquad v(x)=\sqrt{v_0^2-\frac{2eEx}{m_e}}. \]а. Электроны проходят насквозь. Точка поворота нет, поток один. Стационарность: \(\rho(x)v(x)=\rho_0 v_0\), откуда
\[ \rho(x)=\frac{\rho_0 v_0}{\sqrt{v_0^2-2eEx/m_e}}. \]Чем глубже, тем медленнее, тем гуще. У задней сетки плотность максимальна, но конечна.
б. Электроны отражаются. Точка поворота \(x_0=m_ev_0^2/(2eE)\) лежит между сетками. До неё существуют две встречные струи с одинаковой \(|v|\): падающая и отражённая. Каждая даёт плотность как в пункте а, вместе
\[ \rho_2(x)=2\rho_1(x)=\frac{2\rho_0 v_0}{\sqrt{v_0^2-2eEx/m_e}},\qquad x<x_0; \]за точкой поворота электронов нет, \(\rho=0\).
Когда нельзя пренебречь полем пучка. Поле слоя \(0<x<x_0\) по порядку
\[ E_{\text{собств}}\sim\frac{1}{\varepsilon_0}\int_0^{x_0}\rho_2\,dx. \]Интеграл сходится (хотя \(\rho\to\infty\) при \(x\to x_0\)) и равен по порядку \(\rho_0\cdot(m_ev_0^2)/(eE)\). Собственным полем можно пренебречь, если \(E_{\text{собств}}\ll E\), то есть при
\[ \rho_0\ll\frac{\varepsilon_0 eE^2}{m_ev_0^2}. \]При \(\rho_0\sim\varepsilon_0 eE^2/(m_ev_0^2)\) поле пучка уже сравнимо с внешним и его надо учитывать самосогласованно.