В протонный пучок с плотностью тока \(j=1\) мкА/см\(^2\) поместили металлический шар радиуса \(r=10\) см. Определите время, за которое шар зарядится до потенциала \(V=220\) В. Действием поля шара на пучок пренебречь.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Пучок однородный, плотностью тока \(j=1\) мкА/см\(^2\). Шар радиуса \(r=10\) см «заслоняет» площадь \(\pi r^2\), и все протоны, летящие в этот кружок, оседают на металле (поле шара на пучок не действует — так сказано). Ток зарядки
\[ I=j\cdot\pi r^2. \]Переводим: \(j=1\) мкА/см\(^2=10^{-6}\) А\(/10^{-4}\) м\(^2=10^{-2}\) А/м\(^2\), \(r=0{,}10\) м,
\[ I=10^{-2}\cdot\pi\cdot0{,}01=3{,}14\cdot10^{-4}\ \text{А}. \]Ёмкость уединённого шара \(C=4\pi\varepsilon_0 r\). Чтобы потенциал стал \(V=220\) В, нужен заряд \(q=CV\):
\[ C=4\pi\cdot8{,}85\cdot10^{-12}\cdot0{,}10=1{,}11\cdot10^{-11}\ \text{Ф}, \] \[ q=1{,}11\cdot10^{-11}\cdot220=2{,}44\cdot10^{-9}\ \text{Кл}. \]Время при постоянном токе (поле шара не отбрасывает протоны)
\[ t=\frac{q}{I}=\frac{CV}{j\pi r^2}=\frac{4\varepsilon_0 V}{jr}. \]Последнее равенство: \(C/( \pi r^2)=4\varepsilon_0/r\). Численно
\[ t=\frac{4\cdot8{,}85\cdot10^{-12}\cdot220}{10^{-2}\cdot0{,}10}=7{,}8\cdot10^{-6}\ \text{с}\approx8\cdot10^{-6}\ \text{с}. \]