Катод и анод в вакуумном диоде — две параллельные металлические пластины с зазором \(d=0{,}5\) см между ними. Площадь каждой пластины \(S=10\) см\(^2\). При напряжении \(V=5000\) В между катодом и анодом идёт ток \(I=1\) А. Считая электрическое поле между пластинами однородным, определите плотность заряда в зависимости от расстояния до катода. Примите начальную скорость электронов равной нулю. Можно ли в рассматриваемом случае пренебречь действием на электроны их пространственного заряда?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Зазор \(d=0{,}5\) см \(=5\cdot10^{-3}\) м, площадь \(S=10\) см\(^2=10^{-3}\) м\(^2\), \(V=5000\) В, \(I=1\) А. Поле однородно: \(\varphi=Vx/d\), \(E=V/d=\mathrm{const}\). Электрон стартует с катода с нулевой скоростью, поэтому
\[ \frac{m_ev^2}{2}=e\varphi=\frac{eVx}{d}\qquad\Longrightarrow\qquad v(x)=\sqrt{\frac{2eV}{m_ed}}\,\sqrt{x}. \]Плотность тока \(j=I/S\) не зависит от \(x\) (стационар, нет накопления заряда). Значит
\[ \rho(x)=\frac{j}{v(x)}=\frac{I}{S}\sqrt{\frac{m_ed}{2eV}}\,x^{-1/2}. \]Числа: \(I/S=10^3\) А/м\(^2\), \(e/m_e=1{,}76\cdot10^{11}\) Кл/кг,
\[ \sqrt{\frac{m_ed}{2eV}}=\sqrt{\frac{9{,}1\cdot10^{-31}\cdot5\cdot10^{-3}}{2\cdot1{,}6\cdot10^{-19}\cdot5\cdot10^3}} =\sqrt{2{,}84\cdot10^{-18}}\approx1{,}69\cdot10^{-9}\ \text{с/м}, \] \[ \frac{I}{S}\sqrt{\frac{m_ed}{2eV}}=10^3\cdot1{,}69\cdot10^{-9}=1{,}69\cdot10^{-6}. \]В ответе \(1{,}75\cdot10^{-6}\) — небольшая разница в константах. Итак
\[ \rho(x)=1{,}75\cdot10^{-6}\,x^{-1/2}\ \frac{\text{Кл}}{\text{м}^3} \](\(x\) — в метрах).
Можно ли пренебречь пространственным зарядом? Поверхностная плотность облака
\[ \sigma=\int_0^d\rho\,dx=2\cdot1{,}75\cdot10^{-6}\sqrt{d}\approx2{,}5\cdot10^{-7}\ \text{Кл/м}^2. \]Её поле \(E'\sim\sigma/\varepsilon_0\sim3\cdot10^4\) В/м, тогда как внешнее \(V/d=10^6\) В/м. Собственное поле на пару процентов — им можно пренебречь. Ток ещё далёк от чайлдовского предела (тот был бы \(I_{\text{Ч}}\propto V^{3/2}S/d^2\sim\) нескольких ампер).