Для учёта влияния пространственного заряда на работу плоского диода с межэлектродным расстоянием \(d\) нужно установить зависимость плотности заряда \(\rho\), потенциала \(\varphi\) и скорости электронов \(v\) от расстояния до катода \(x\). Скорость электронов и напряжённость поля на катоде при токах, далёких от насыщения, можно считать нулевыми. В случае, когда катод заземлён, потенциал можно представить в виде \(\varphi=V(x/d)^n\). Определите отсюда \(\rho(x)\) и \(v(x)\), а затем, используя условие стационарности тока, найдите показатель степени \(n\). Получите точные выражения для плотности тока и тока через диод при заданном напряжении \(V\). Площадь электродов \(S\).
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Катод заземлён, \(\varphi(0)=0\), анод при \(x=d\) имеет \(\varphi=V\). На катоде \(v=0\) и \(E=0\) (задача 8.1.15). Ищем потенциал в виде
\[ \varphi(x)=V\left(\frac{x}{d}\right)^n. \]Плотность из уравнения Пуассона. В СИ \(\mathrm{d}^2\varphi/\mathrm{d}x^2=-\rho/\varepsilon_0\). Вторая производная
\[ \frac{\mathrm{d}^2\varphi}{\mathrm{d}x^2}=V n(n-1)d^{-n}x^{n-2}, \]и (электроны, \(\rho<0\) по знаку, дальше пишем модуль плотности заряда электронов)
\[ |\rho|=\varepsilon_0 V n(n-1)\,d^{-n}x^{n-2}. \]Скорость из энергии. Старт с нулём: \(\tfrac12 m_ev^2=e\varphi\),
\[ v=\sqrt{\frac{2eV}{m_e}}\left(\frac{x}{d}\right)^{n/2}. \]Стационарность. \(j=|\rho|v=\mathrm{const}\), показатель \(x\) в произведении должен быть нулём:
\[ (n-2)+\frac{n}{2}=0\qquad\Longrightarrow\qquad\frac{3n}{2}=2\qquad\Longrightarrow\qquad n=\frac43. \]Тогда \(n(n-1)=(4/3)(1/3)=4/9\), и
\[ j=\varepsilon_0 V\cdot\frac{4}{9}\,d^{-4/3}\cdot\sqrt{\frac{2eV}{m_e}}\,d^{-2/3} =\frac{4}{9}\varepsilon_0\sqrt{\frac{2e}{m_e}}\frac{V^{3/2}}{d^2}. \]Ток через диод \(I=jS\). Это закон Чайлда–Ленгмюра: ток растёт как напряжение в степени \(3/2\) и падает как квадрат зазора.