Анод и катод диода имеют произвольную форму. Пусть при определённом напряжении на диоде в режиме, далёком от насыщения, между электродами установится пространственный заряд, плотность которого \(\rho(x,y,z)\). Во сколько раз увеличится плотность этого заряда, если напряжение на диоде увеличить в \(n\) раз? Во сколько раз увеличится ток через диод?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
В режиме, далёком от насыщения, электроны стартуют с катода почти с нулевой скоростью, поле на катоде почти нуль, и между электродами сидит самосогласованный пространственный заряд. Система уравнений:
\[ \Delta\varphi=-\frac{\rho}{\varepsilon_0},\qquad \frac{m_ev^2}{2}=e\varphi,\qquad \operatorname{div}(\rho\mathbf{v})=0. \]Геометрия электродов не меняется, меняется только масштаб напряжения: \(\varphi\to n\varphi\) (на аноде было \(V\), стало \(nV\)).
Из уравнения Пуассона \(\rho\propto\Delta\varphi\), поэтому плотность заряда в каждой точке вырастет в \(n\) раз:
\[ \rho'(x,y,z)=n\,\rho(x,y,z). \]Из закона энергии \(v\propto\sqrt{\varphi}\), скорости вырастут в \(\sqrt{n}\) раз. Плотность тока
\[ j=\rho v\to n\cdot\sqrt{n}\,j=n^{3/2}j. \]Полный ток через любую поверхность, натянутую на анод, — это поток \(j\), и он тоже вырастет в \(n^{3/2}\) раз.
Никакая конкретная форма электродов сюда не вошла: масштабный аргумент работает для плоского, цилиндрического, сферического диода и для любой «кривой» лампы.