Прямолинейный провод глубоко зарыт в однородном грунте. Ток утечки с единицы длины провода равен \(i\). Определите плотность тока на расстоянии \(r\) от провода. Длина провода много больше \(r\).
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Провод глубоко зарыт, грунт однороден, длина провода много больше \(r\) — задача двумерная. Рассмотрим цилиндр радиуса \(r\) и длины \(1\) м с осью на проводе. С провода в этот цилиндр втекает ток \(i\) (ток утечки с единицы длины). В стационаре заряд грунта не растёт, поэтому через боковую поверхность цилиндра должен вытекать тот же ток \(i\).
Симметрия: \(\mathbf{j}\) направлен по радиусу и не зависит от угла и от координаты вдоль провода. Площадь боковой поверхности цилиндра длины 1 равна \(2\pi r\), значит
\[ j\cdot 2\pi r=i\qquad\Longrightarrow\qquad j=\frac{i}{2\pi r}. \]Это полный аналог поля бесконечной нити: роль \(\lambda/\varepsilon_0\) играет \(i\), роль \(\mathbf{E}\) — \(\mathbf{j}\). В однородном грунте \(\mathbf{j}=\lambda_{\text{пр}}\mathbf{E}\), и уравнение \(\operatorname{div}\mathbf{j}=0\) вне провода совпадает с \(\operatorname{div}\mathbf{E}=0\).