а. К точке \(A\) среды подводится ток \(I\), а от точки \(B\) отводится ток \(I\). Считая, что каждая точка среды независимо от других точек создаёт стационарное сферически-симметричное поле тока, определите поверхностную плотность тока в плоскости симметрии точек \(A\) и \(B\). Каков полный ток через эту плоскость? Как изменится решение, если и к точке \(B\) подводится ток \(I\)?
б*. Определите распределение плотности тока по поверхности грунта, если на глубине \(h\) от его поверхности находится точечный источник с током \(I\).
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Поле одного источника, в который втекает ток \(I\):
\[ \mathbf{j}=\frac{I}{4\pi R^2}\hat{\mathbf{R}}. \]а. Источник и сток. К \(A\) подводят \(I\), от \(B\) отводят \(I\). Пусть \(AB=2l\), середина отрезка — \(O\). В плоскости симметрии (перпендикуляр к \(AB\) через \(O\)) расстояния до \(A\) и до \(B\) равны \(r\). Нормальные к плоскости компоненты двух токов складываются, касательные уничтожаются:
\[ j_\perp=\frac{2I}{4\pi r^2}\cdot\cos\theta=\frac{2I}{4\pi r^2}\sqrt{1-\frac{l^2}{r^2}}, \]где \(\cos\theta=l_{\perp}/r=\sqrt{1-l^2/r^2}\) — косинус угла между \(\mathbf{R}_A\) и нормалью к плоскости. Весь ток от \(A\) к \(B\) обязан пересечь эту плоскость, поэтому полный ток через неё равен \(I\).
Если к \(B\) тоже подводят \(I\) (два источника одного знака), складываются уже касательные компоненты, нормальные уничтожаются:
\[ j_\parallel=\frac{2I}{4\pi r^2}\cdot\frac{l}{r}. \]Полный ток через плоскость равен нулю: столько же втекает, сколько вытекает. Плоскость ведёт себя как изолятор (\(j_\perp=0\)).
б. Источник под поверхностью грунта. Грунт занимает полупространство, поверхность — изолятор (\(j_\perp=0\): ток не вытекает в воздух). Ставим над поверхностью изображение того же знака на высоте \(h\). На поверхности остаётся только касательная компонента — как во втором случае пункта а, но теперь \(l=h\), а \(r\) — расстояние от настоящего источника до точки на поверхности:
\[ j=\frac{2I}{4\pi r^2}\sqrt{1-\frac{h^2}{r^2}}. \](В ответе задачника записан именно этот вид; эквивалентно \(j=I h_{\text{гор}}/(2\pi r^3)\), где \(h_{\text{гор}}=\sqrt{r^2-h^2}\).)