Параллельно поверхности идеального проводника на расстоянии \(l\) от неё движется со скоростью \(v\) точечный заряд \(q\). Определите на расстоянии \(r\) от этого заряда линейную плотность «наведённого» поверхностного тока в проводнике; \(r>l\).
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Заряд \(q\) летит параллельно поверхности на высоте \(l\). Чтобы потенциал плоскости был нулём, под ней на глубине \(l\) ставят изображение \(-q\). Нормальное поле у поверхности даёт плотность
\[ \sigma=-\frac{ql}{2\pi r^3}, \]где \(r\) — расстояние от настоящего заряда до точки наблюдения на плоскости (\(r>l\); проекция на плоскость удалена на \(\sqrt{r^2-l^2}\)). Знак минус: наведённый заряд противоположен \(q\). Полный наведённый заряд \(\int\sigma\,\mathrm{d}S=-q\).
Картина \(\sigma\) не стоит на месте: она едет вместе с \(q\) со скоростью \(v\), не меняя формы. Поверхностный ток (ток на единицу поперечной ширины, линейная плотность тока) в данной точке
\[ i=\sigma v=\frac{qvl}{2\pi r^3} \]по модулю. В обозначениях задачи это и есть \(j=qvl/(2\pi r^3)\).
Направление: под зарядом «нашлёпка» едет в ту же сторону, что и \(q\); на далёких флангах плотность мала. Если следить за знаком \(\sigma\), ток наведённых отрицательных зарядов (при \(q>0\)) направлен вдоль \(v\).