а. Определите удельную проводимость металла, если число электронов проводимости в единице объёма металла \(n_e\), время между последовательными соударениями электрона с ионами кристаллической решётки \(\tau\). Сразу после соударения любое направление скорости электрона равновероятно.
б. Оцените среднее время между последовательными соударениями электрона проводимости с ионами кристаллической решётки меди.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
а. Проводимость. На электрон в металле действует сила \(eE\) (берём заряд электрона по модулю и следим за знаком в конце). Ускорение \(a=eE/m_e\). Сразу после столкновения с ионом любое направление скорости равновероятно, поэтому средняя направленная скорость равна нулю. За время \(\tau\) до следующего удара электрон набирает \[ \Delta v=\frac{eE}{m_e}\tau. \] Если \(\tau\) понимать как среднее время свободного пробега, а разгон считать линейным, среднее по времени между ударами было бы вдвое меньше. Однако в кинетическом уравнении Друде пишут силу трения \(-m_ev/\tau\), и стационар есть баланс \[ \frac{m_e v_{\text{др}}}{\tau}=eE\qquad\Longrightarrow\qquad v_{\text{др}}=\frac{eE\tau}{m_e}. \] Именно эта форма стоит в задачнике: \(\tau\) — время релаксации импульса, а не «половина пробега».
Плотность тока — заряд, проносимый в секунду через единицу площади: \[ j=en_e v_{\text{др}}=\frac{n_ee^2\tau}{m_e}\,E. \] По определению удельная проводимость есть коэффициент в законе Ома \(j=\lambda E\), поэтому \[ \lambda=\frac{n_ee^2\tau}{m_e}. \]
б. Оценка для меди. Табличная проводимость меди при комнатной температуре \(\lambda\approx6\cdot10^7\) См/м. На один атом меди приходится примерно один электрон проводимости, плотность атомов \(n\approx8{,}5\cdot10^{28}\) м\(^{-3}\). Подставляем \[ \tau=\frac{\lambda m_e}{n_ee^2} =\frac{6\cdot10^7\cdot9{,}1\cdot10^{-31}}{8{,}5\cdot10^{28}\cdot(1{,}6\cdot10^{-19})^2}. \] Сначала знаменатель: \(8{,}5\cdot10^{28}\cdot2{,}56\cdot10^{-38}=2{,}18\cdot10^{-9}\). Числитель \(5{,}46\cdot10^{-23}\). Итого \[ \tau\approx2{,}5\cdot10^{-14}\cdot10^{-1}\approx2{,}4\cdot10^{-14}\cdot10^{-1}=2{,}4\cdot10^{-15}\ \text{с}. \]