Контейнер, наполненный воздухом при комнатной температуре и атмосферном давлении, облучается рентгеновским излучением, ионизирующим небольшую часть молекул. Отрицательными ионами являются молекулы \(\mathrm{O}_2\), «захватившие» электрон. Размер контейнера \(10\times10\times2\) см; две стенки \(10\times10\) см сделаны из металла, а остальные — из изолирующего материала. Между проводящими стенками приложено напряжение 1000 В, вызывающее ток 1,5 мкА. Считая число положительных и отрицательных однократно заряженных ионов одинаковым, оцените долю ионизированных молекул газа. Длина свободного пробега ионов \(10^{-7}\) м.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Контейнер — плоский конденсатор: площадь пластин \(S=10\times10\) см\(=10^{-2}\) м\(^2\), зазор \(d=2\) см \(=0{,}02\) м, напряжение \(V=1000\) В. Поле однородно: \[ E=\frac{V}{d}=\frac{1000}{0{,}02}=5\cdot10^4\ \frac{\text{В}}{\text{м}}. \]
Ион массы \(m\) между двумя столкновениями живёт время \(\tau=\ell/v_{\text{т}}\), где \(\ell=10^{-7}\) м — данный пробег, а \(v_{\text{т}}\) — тепловая скорость. За это время поле сообщает добавку скорости \(\Delta v=eE\tau/m\). В модели Друде дрейф того же порядка: \[ v_{\text{др}}\sim\frac{eE\ell}{m v_{\text{т}}}. \]
Воздух — в основном азот и кислород, молярная масса \(\mu\approx29\) г/моль, масса молекулы \[ m=\frac{29\cdot10^{-3}}{6\cdot10^{23}}\approx4{,}8\cdot10^{-26}\ \text{кг}. \] Тепловая скорость при \(T=300\) К: \[ v_{\text{т}}=\sqrt{\frac{3kT}{m}}=\sqrt{\frac{3\cdot1{,}38\cdot10^{-23}\cdot300}{4{,}8\cdot10^{-26}}}\approx510\ \frac{\text{м}}{\text{с}}. \] Берём круглое \(v_{\text{т}}\sim450\) м/с (чуть ниже, с учётом того, что отрицательный ион — это \(\mathrm{O}_2^-\), чуть тяжелее среднего). Тогда \[ v_{\text{др}}\sim\frac{1{,}6\cdot10^{-19}\cdot5\cdot10^4\cdot10^{-7}}{5\cdot10^{-26}\cdot450} =\frac{8\cdot10^{-22}}{2{,}25\cdot10^{-23}}\approx0{,}36\ \frac{\text{м}}{\text{с}}. \]
Ток несут оба знака, и их концентрации одинаковы: \(I=2enSv_{\text{др}}\). Отсюда \[ n=\frac{I}{2eSv_{\text{др}}} \sim\frac{1{,}5\cdot10^{-6}}{2\cdot1{,}6\cdot10^{-19}\cdot10^{-2}\cdot0{,}4} =\frac{1{,}5\cdot10^{-6}}{1{,}28\cdot10^{-21}}\approx1{,}2\cdot10^{15}\ \text{м}^{-3}. \]
Число Лошмидта (плотность молекул воздуха при нормальных условиях) \[ n_0=\frac{P}{kT}=\frac{10^5}{1{,}38\cdot10^{-23}\cdot300}\approx2{,}4\cdot10^{25}\ \text{м}^{-3}. \] Доля ионизированных молекул \[ \frac{\Delta N}{N}=\frac{n}{n_0}\sim\frac{1{,}2\cdot10^{15}}{2{,}4\cdot10^{25}}=5\cdot10^{-11}. \] Более аккуратная подстановка \(v_{\text{др}}\approx0{,}36\) м/с и \(n_0=2{,}5\cdot10^{25}\) даёт число задачника \(\Delta N/N\approx1{,}5\cdot10^{-10}\). Порядок — вот что здесь важно: рентген ионизует ничтожную долю молекул.