Листочек фольги, покрытый \(\beta\)-радиоактивным веществом, испускает с единицы площади \(\nu\) электронов в единицу времени. Их скорость равна \(v\), любое направление скорости равновероятно. Найдите плотность тока. Почему она не зависит от \(v\)?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
С единицы площади фольги в единицу времени уходит \(\nu\) электронов. Величина \(\nu\) уже есть поток: все эти электроны рано или поздно пересекут любую плоскость, параллельную фольге (тех, кто ушёл «в фольгу», в \(\nu\) не считают). Каждый несёт заряд \(e\), поэтому плотность тока
\[ j=e\nu. \]Скорость \(v\) в ответ не вошла.
Почему не зависит от \(v\). Пусть электроны летят от фольги со скоростью \(v\). За время \(dt\) от площадки \(S\) отойдёт слой толщины \(v\,dt\), в нём \(N=\nu S\,dt\) электронов. Объём слоя \(Sv\,dt\), объёмная плотность
\[ n=\frac{\nu}{v}. \]Плотность тока \(j=env=e(\nu/v)\cdot v=e\nu\). Чем быстрее электроны, тем реже они сидят в пространстве (\(n\propto1/v\)), но тем чаще пересекают контрольную плоскость — два эффекта сокращаются точно.
Изотропия направлений не портит ответ. В условии \(\nu\) — уже поток с единицы площади наружу, а не полное число распадов. Половина электронов, улетевших в фольгу, в \(\nu\) не входит.