В струе \(\beta\)-радиоактивных пылинок, имеющих скорость \(w\), число электронов в единице объёма равно \(n_e\). Скорость электрона относительно испустившей его пылинки равна \(v\), а все направления скоростей равновероятны. Определите плотность электронного тока в струе.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Перейдём в систему отсчёта пылинки. Там электрон вылетает со скоростью \(v\), а все направления равновероятны. Среднее по сфере
\[ \langle\mathbf{v}'\rangle=\frac{1}{4\pi}\int\mathbf{v}'\,d\Omega=0. \]Плотность электронного тока в этой системе \(j'=-en_e\langle\mathbf{v}'\rangle=0\): сколько электронов летит вправо, столько же влево.
Лабораторная скорость электрона есть сумма скорости струи и собственной:
\[ \mathbf{v}_{\text{лаб}}=w\,\hat{\mathbf{w}}+\mathbf{v}'. \]Усредняя,
\[ \langle\mathbf{v}_{\text{лаб}}\rangle=w\,\hat{\mathbf{w}}, \]и плотность тока (электроны несут заряд \(-e\))
\[ \mathbf{j}=-en_e\langle\mathbf{v}_{\text{лаб}}\rangle=-en_ew\,\hat{\mathbf{w}}. \]Модуль \(j=-en_ew\) в обозначениях задачника: знак минус напоминает, что ток (направление движения положительного заряда) направлен против скорости струи, если пылинки летят в положительную сторону.
Скорость \(v\) выпала: она задаёт лишь ширину сферы разлёта, а центр сферы смещён на \(w\). Как в 8.1.6, быстрые электроны реже сидят в объёме, но \(n_e\) уже дана в условии — это плотность в лаборатории.