Удельная проводимость среды зависит от координаты \(x\): \(\lambda=\lambda_0 a/(a+x)\). Как зависит от \(x\) плотность заряда при стационарной плотности тока \(j\), направленной вдоль оси \(x\)?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Плотность тока направлена вдоль оси \(x\) и в стационаре не зависит от времени. Заряд сохраняется: если бы через два сечения текли разные токи, между ними непрерывно копился бы заряд, чего в установившемся режиме быть не может. Поэтому во всех сечениях \[ j=\text{const}. \]
Поле находим из закона Ома: \[ E(x)=\frac{j}{\lambda(x)}=\frac{j}{\lambda_0}\cdot\frac{a+x}{a}=\frac{j}{\lambda_0 a}(a+x). \] Поле растёт линейно с \(x\): проводимость падает, и чтобы протащить тот же ток, нужно всё более сильное поле.
Заряд находим по теореме Гаусса для тонкого слоя между \(x\) и \(x+\Delta x\) (сечение \(S\)): наружу выходит поток \(S\,[E(x+\Delta x)-E(x)]=\rho\,S\Delta x/\varepsilon_0\), то есть \[ \rho=\varepsilon_0\frac{\Delta E}{\Delta x}=\varepsilon_0\cdot\frac{j}{\lambda_0 a}. \] Плотность заряда постоянна по \(x\): линейный рост \(E\) даёт константу. В ответах иногда пишут \(\rho=\varepsilon_0 j/(\lambda a)\), подразумевая под \(\lambda\) константу \(\lambda_0\) из условия.
Откуда физически берётся этот заряд? Носители чуть-чуть расходятся в области малой проводимости и чуть сгущаются в области большой — ровно настолько, чтобы создать нужный градиент поля. В стационаре заряд «стоит» на месте и держит картину \(E(x)\).