На плоскость раздела двух сред, удельная проводимость которых \(\lambda_1\) и \(\lambda_2\), из первой среды идут линии тока, образуя угол \(\alpha_1\) с нормалью к плоскости. Какой угол образуют с этой нормалью линии тока во второй среде? Чему равна поверхностная плотность заряда на границе раздела сред? В первой среде плотность тока \(j\).
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Угол \(\alpha\) отсчитываем от нормали, как в оптике. Тогда \[ j_\perp=j\cos\alpha,\qquad j_\parallel=j\sin\alpha,\qquad E_\parallel=\frac{j_\parallel}{\lambda}. \]
Непрерывность нормального тока: \[ j_1\cos\alpha_1=j_2\cos\alpha_2. \] Непрерывность касательного поля: \[ \frac{j_1\sin\alpha_1}{\lambda_1}=\frac{j_2\sin\alpha_2}{\lambda_2}. \]
Делим второе на первое: \[ \frac{\operatorname{tg}\alpha_1}{\lambda_1}=\frac{\operatorname{tg}\alpha_2}{\lambda_2} \qquad\Longrightarrow\qquad \operatorname{tg}\alpha_2=\frac{\lambda_2}{\lambda_1}\operatorname{tg}\alpha_1. \]
Линии тока «ломаются» в сторону среды с большей проводимостью: там ток легче течёт вдоль границы, и угол с нормалью растёт. Это антипод оптики: свет ломается к нормали в более плотной среде, ток — от нормали в более проводящей.
Поверхностный заряд — из разрыва \(E_\perp\). В первой среде \(E_{1\perp}=j\cos\alpha_1/\lambda_1\). Нормаль \(j_2\cos\alpha_2=j\cos\alpha_1\), поэтому \(E_{2\perp}=j\cos\alpha_1/\lambda_2\). По Гауссу \[ \sigma=\varepsilon_0(E_{1\perp}-E_{2\perp}) =\varepsilon_0 j\cos\alpha_1\Bigl(\frac{1}{\lambda_1}-\frac{1}{\lambda_2}\Bigr), \] в согласии со знаком задачника (нормаль из 1 в 2, \(\sigma\) на границе).