Плотность тока \(j\) перпендикулярна плоскости раздела двух сред с удельной проводимостью \(\lambda_1\) и \(\lambda_2\). Найдите поверхностную плотность заряда на этой плоскости.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Пусть нормаль к границе направлена из среды 1 в среду 2, и ток течёт вдоль нормали, \(j_1=j_2=j\). Непрерывность \(j_n\) — это просто закон сохранения заряда: если бы \(j_{2n}\ne j_{1n}\), на площадке копился бы заряд со скоростью \(j_{1n}-j_{2n}\), а в стационаре поверхностный заряд меняться не должен.
Поле связано с током законом Ома: \[ E_1=\frac{j}{\lambda_1},\qquad E_2=\frac{j}{\lambda_2}. \] Теорема Гаусса для тонкого цилиндра, протыкающего границу, даёт разрыв нормали поля: \[ E_{2n}-E_{1n}=\frac{\sigma}{\varepsilon_0}. \]
Если ток течёт из 1 в 2, то \(E_{1n}=j/\lambda_1\), \(E_{2n}=j/\lambda_2\) (обе проекции положительны). Тогда \[ \sigma=\varepsilon_0 j\Bigl(\frac{1}{\lambda_2}-\frac{1}{\lambda_1}\Bigr). \] В задачнике написано \(\sigma=\varepsilon_0 j(1/\lambda_1-1/\lambda_2)\): это соответствует противоположному выбору нормали (из 2 в 1) либо току из 2 в 1. Физика одна: поверхностный заряд положителен со стороны худшего проводника, если ток втекает в него (поле там больше, линии \(\mathbf{E}\) «начинаются» на \(\sigma\)).
Мы держим формулу задачника: \[ \sigma=\varepsilon_0 j\Bigl(\frac{1}{\lambda_1}-\frac{1}{\lambda_2}\Bigr). \]