Определите напряжённость электрического поля и разность потенциалов между точками \(A\) и \(B\) проводника, если ток в нём идёт под углом \(\alpha\) к направлению прямой \(AB\). Найдите разность потенциалов между точками \(A\) и \(B\), если линия тока, соединяющая эти точки, является полуокружностью. Расстояние от \(A\) до \(B\) равно \(l\). Плотность тока в проводнике \(j\), его удельная проводимость \(\lambda\).
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
В однородном проводнике \(\mathbf{j}=\lambda\mathbf{E}\), поэтому \[ E=\frac{j}{\lambda}, \] и вектор \(\mathbf{E}\) в каждой точке параллелен линии тока.
Прямой отрезок \(AB\) длины \(l\). Ток идёт под углом \(\alpha\) к \(AB\). Берём интеграл вдоль прямой: \[ V_A-V_B=\int_A^B\mathbf{E}\cdot d\mathbf{l}=E\cos\alpha\cdot l=\frac{jl}{\lambda}\cos\alpha. \] Это просто проекция: «работает» только составляющая поля вдоль выбранного пути. При \(\alpha=90^\circ\) точки \(A\) и \(B\) лежат на одной эквипотенциали, и \(V_1=0\), как и должно быть.
Полуокружность. Теперь линия тока, соединяющая \(A\) и \(B\), сама есть полуокружность диаметра \(l\). Поле всюду касательно к этой дуге (ток по ней и течёт), \(E=j/\lambda=\text{const}\), длина пути \(\pi l/2\): \[ V_2=\int E\,dl=\frac{j}{\lambda}\cdot\frac{\pi l}{2}=\frac{\pi jl}{2\lambda}. \]
Важный комментарий. Потенциал — функция точки, поэтому \(V_A-V_B\) не зависит от пути. Если бы мы в полуокружном случае пошли по диаметру, поле уже не было бы направлено вдоль диаметра: линии тока — дуги, и на диаметре \(\mathbf{E}\) имеет другую геометрию. Интеграл, разумеется, дал бы то же \(V_2\), но считать его по дуге проще.