Определите отношение теплопроводности и удельной проводимости для ряда металлов при \(0^\circ\mathrm{C}\), пользуясь приведённой таблицей. Чем объяснить получившийся результат?
Медь: \(\varkappa=385\) Вт/(м·К), \(\lambda=6{,}0\cdot10^7\) См/м; цинк: 111 и \(1{,}7\cdot10^7\); железо: 60 и \(0{,}9\cdot10^7\); свинец: 34 и \(0{,}5\cdot10^7\).
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Считаем отношения по таблице (всё при \(0^\circ\mathrm{C}\)):
\[ \begin{align*} \text{медь: }&\quad\frac{385}{6{,}0\cdot10^7}=6{,}42\cdot10^{-6}\ \frac{\text{Вт·Ом}}{\text{К}},\\ \text{цинк: }&\quad\frac{111}{1{,}7\cdot10^7}=6{,}53\cdot10^{-6},\\ \text{железо: }&\quad\frac{60}{0{,}9\cdot10^7}=6{,}67\cdot10^{-6},\\ \text{свинец: }&\quad\frac{34}{0{,}5\cdot10^7}=6{,}80\cdot10^{-6}. \end{align*} \]Четыре металла, проводимости которых различаются в десять раз, — а отношение одно и то же с точностью до нескольких процентов. Это не случайность.
В кинетической теории теплопроводность газа \(\varkappa\sim n\langle v\rangle\ell\cdot c_V\), где \(c_V\) — теплоёмкость одной частицы. Для электронов проводимости то же самое: они переносят и заряд, и энергию. Электропроводность \(\lambda=n_ee^2\tau/m_e\), а \(\ell=\langle v\rangle\tau\). В отношении \(n_e\) и \(\tau\) сокращаются: \[ \frac{\varkappa}{\lambda}\propto\frac{c_V\langle v\rangle^2}{e^2}\propto\frac{k^2T}{e^2}, \] потому что средняя энергия электрона \(\sim kT\) (классика) или \(\sim k^2T^2/\varepsilon_F\) (ферми-газ: теплоёмкость линейна по \(T\), но скорость — фермиевская). Квантовый расчёт даёт точную формулу Видемана–Франца \[ \frac{\varkappa}{\lambda}=L\,T,\qquad L=\frac{\pi^2k^2}{3e^2} \] — число Лоренца. При \(T=273\) К \[ L\cdot273=\frac{\pi^2(1{,}38\cdot10^{-23})^2}{3(1{,}6\cdot10^{-19})^2}\cdot273\approx6{,}7\cdot10^{-6}\ \frac{\text{Вт·Ом}}{\text{К}}. \] Таблица попала в точку.