В центре проводящего шара с удельным сопротивлением \(\rho\) оказался избыточный заряд \(Q_0\).
а. Как зависит от \(Q_0\) ток, текущий из центра шара к его поверхности?
б*. Как будет меняться заряд в центре шара со временем?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
а. Ток из центра. Пусть в малой окрестности центра сидит заряд \(Q\). Окружим его сферой радиуса \(r\), лежащей целиком внутри проводящего шара. Теорема Гаусса: \[ \oint\mathbf{E}\,d\mathbf{S}=\frac{Q}{\varepsilon_0}. \] В проводнике \(\mathbf{j}=\mathbf{E}/\rho\), поэтому поток плотности тока — это полный ток, утекающий через сферу: \[ I=\oint\mathbf{j}\,d\mathbf{S}=\frac{1}{\rho}\oint\mathbf{E}\,d\mathbf{S}=\frac{Q}{\varepsilon_0\rho}. \] Ток не зависит от радиуса сферы: сколько вытекло из центра, столько и дойдёт до любой концентрической поверхности (в стационаре заряда в толще нет, он весь либо в центре, либо уже на внешней поверхности). Для начального заряда \[ I=\frac{Q_0}{\varepsilon_0\rho}. \]
б. Закон убывания. Ток уносит заряд: \(\dot Q=-I\). Подставляем только что найденное: \[ \frac{dQ}{dt}=-\frac{Q}{\varepsilon_0\rho}. \] Это уравнение экспоненты: \[ Q(t)=Q_0\exp\Bigl(-\frac{t}{\varepsilon_0\rho}\Bigr). \] Постоянная \(\tau_M=\varepsilon_0\rho\) называется максвелловским временем релаксации. Для любого однородного проводника объёмный заряд рассасывается именно так — геометрия не важна, теорема Гаусса работает локально.
Куда девается заряд? Он выталкивается на внешнюю поверхность шара и остаётся там: снаружи тока нет, и поверхностный заряд уже никуда не денется (если шар изолирован).