Цилиндр из проводящего вещества с удельной проводимостью \(\lambda\) имеет длину \(l\) и поперечное сечение \(S\). Разность потенциалов между его торцами равна \(V\). Определите ток через сечение цилиндра. Каково сопротивление этого цилиндра?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Торцы цилиндра поддерживаются при разности потенциалов \(V\). Если цилиндр длинный по сравнению с поперечным размером (или торцы — эквипотенциальные электроды на всё сечение), поле внутри однородно и направлено вдоль оси: \[ E=\frac{V}{l}. \]
Закон Ома в дифференциальной форме: \[ j=\lambda E=\lambda\frac{V}{l}. \] Через любое поперечное сечение идёт ток \[ I=jS=\frac{\lambda SV}{l}. \]
Сопротивление по определению есть отношение напряжения к току: \[ R=\frac{V}{I}=\frac{l}{\lambda S}. \] Это школьная формула \(R=\rho l/S\), только вместо удельного сопротивления стоит его обратная величина — удельная проводимость \(\lambda=1/\rho\).
Полезно увидеть ту же формулу как интеграл. Разобьём цилиндр на тонкие ломти толщины \(dx\). Сопротивление ломтя \(dR=dx/(\lambda S)\), они включены последовательно: \[ R=\int_0^l\frac{dx}{\lambda S}=\frac{l}{\lambda S}. \] Так же считают сопротивление неоднородного стержня, только \(\lambda\) или \(S\) оставляют под интегралом.