Из металлов с удельной проводимостью \(\lambda_1\) и \(\lambda_2\) изготовили длинные стержни и соединили их так, как показано на рисунке. На крайних торцах поддерживается разность потенциалов \(V\). Определите сопротивление соединённых стержней и токи в них.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
I. Одинаковые сечения. Два стержня длины \(l\) и радиуса \(r\) стоят друг за другом. Площадь сечения \(S=\pi r^2\). Сопротивления \[ R_1=\frac{l}{\lambda_1\pi r^2},\qquad R_2=\frac{l}{\lambda_2\pi r^2} \] включены последовательно (ток один, другого пути нет): \[ R_I=R_1+R_2=\frac{l}{\pi r^2}\Bigl(\frac{1}{\lambda_1}+\frac{1}{\lambda_2}\Bigr). \] Ток общий: \(I_I=V/R_I\). На стыке появляется поверхностный заряд (задача 8.2.8), он как раз и подстраивает поля \(E_1=j/\lambda_1\) и \(E_2=j/\lambda_2\) так, чтобы ток не рвался.
II. Разные радиусы. Если \(|r_2-r_1|\ll l_{1,2}\), область «перестройки» поля у ступеньки занимает по длине порядка \(|r_2-r_1|\) и даёт малую поправку к сопротивлению. Тогда снова последовательно: \[ R_{II}=\frac{l_1}{\lambda_1\pi r_1^2}+\frac{l_2}{\lambda_2\pi r_2^2} =\frac{1}{\pi}\Bigl(\frac{l_1}{r_1^2\lambda_1}+\frac{l_2}{r_2^2\lambda_2}\Bigr), \] \[ I_{II}=\frac{V}{R_{II}}. \]
Ток в обоих стержнях один и тот же: заряд нигде не накапливается. Плотности тока разные, \(j=I/(\pi r^2)\), и поля \(E=j/\lambda\) тоже.