Длинная цилиндрическая трубка из изолятора покрыта тонким проводящим слоем. Сопротивление между торцами трубки \(R_0\). Проводящий слой прорезают тонким резцом по винтовой линии, идущей под углом \(\alpha\) к образующей трубки. После этого подсоединяют контакты и наносят изолирующее покрытие. Определите сопротивление получившегося резистора.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
До разреза проводящий слой — цилиндрическая плёнка длины \(L\), радиуса \(r\), толщины \(\delta\). Ток идёт вдоль образующей, сечение «кольца» \(2\pi r\delta\): \[ R_0=\frac{L}{\lambda\cdot 2\pi r\delta}. \]
Резец прошёл по винтовой линии, составляющей угол \(\alpha\) с образующей. Разрез тонкий, но сплошной: он разрезает плёнку на одну длинную ленту, намотанную на цилиндр. Ток больше не может иметь составляющей, нормальной к разрезу, — иначе он упёрся бы в канавку. Значит, линии тока параллельны винтовой линии.
Длина пути от торца до торца теперь не \(L\), а длина винтовой линии: \[ L'=\frac{L}{\cos\alpha}. \]
Ширина ленты — это окружность цилиндра, спроецированная на направление, перпендикулярное току. Окружность \(2\pi r\) составляет с перпендикуляром к винтовой линии угол \(\alpha\), поэтому эффективная ширина \(b=2\pi r\cos\alpha\). Толщина по-прежнему \(\delta\). Сопротивление ленты \[ R=\frac{L'}{\lambda\, b\delta}=\frac{L/\cos\alpha}{\lambda\cdot 2\pi r\cos\alpha\cdot\delta} =\frac{R_0}{\cos^2\alpha}. \]
Тот же результат даёт тензор проводимости: вдоль разрешённого направления \(\lambda_\parallel=\lambda\), поперёк \(\lambda_\perp=0\), и эффективная осевая проводимость равна \(\lambda\cos^2\alpha\).