В среде с малой удельной проводимостью \(\lambda\) находится металлический шар радиуса \(r\). Определите ток, стекающий с шара, если его потенциал равен \(V\). Если такой шар подсоединить изолированным проводом к громоотводу, то каким будет сопротивление заземления?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Металлический шар — эквипотенциаль. Снаружи, в слабо проводящей среде, поле такое же, как у точечного заряда \(Q\) в центре (это единственное решение уравнения Лапласа с \(\varphi=\text{const}\) на сфере и \(\varphi\to0\) на бесконечности): \[ E(R)=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 R^2},\qquad \varphi(R)=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 R}. \] Потенциал самого шара \(V=Q/(4\pi\varepsilon_0 r)\).
Плотность тока \(\mathbf{j}=\lambda\mathbf{E}\). Полный ток, стекающий с шара, — поток через любую сферу радиуса \(R>r\): \[ I=\oint j\,dS=\lambda\cdot\frac{Q}{\varepsilon_0}=4\pi r\lambda V. \]
Сопротивление заземления — отношение потенциала к току утечки на бесконечность: \[ R=\frac{V}{I}=\frac{1}{4\pi r\lambda}. \]
Замечательная аналогия с электростатикой: ёмкость уединённого шара \(C=4\pi\varepsilon_0 r\), и \[ RC=\frac{\varepsilon_0}{\lambda} \] — снова максвелловское время, уже встречавшееся в задаче 8.2.11. Эта связь \(RC=\varepsilon\varepsilon_0/\lambda\) верна для любой геометрии электродов в однородной среде (см. 8.2.21).