Два электрода — металлические шары диаметра 30 см — висят в море на изолированных кабелях на глубине 60 м. Расстояние между шарами 300 м. Удельная проводимость морской воды 4 См/м. Оцените сопротивление воды между шарами.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Радиус шара \(r=15\) см \(=0{,}15\) м, расстояние между центрами \(d=300\) м, глубина \(h=60\) м. Иерархия ясна: \(d\gg r\), \(h\gg r\). Среда — морская вода, \(\lambda=4\) См/м, практически бесконечна.
Сопротивление между двумя шарами в бесконечной однородной среде считается так. Ёмкость системы двух шаров (при \(d\gg r\)) \[ \frac{1}{C}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\Bigl(\frac{1}{r}+\frac{1}{r}-\frac{2}{d}\Bigr) =\frac{1}{2\pi\varepsilon_0 r}\Bigl(1-\frac{r}{d}\Bigr), \] а сопротивление связано с ёмкостью максвелловским правилом \(RC=\varepsilon_0/\lambda\) (среда без диэлектрической проницаемости сверх единицы, вода здесь важна своей \(\lambda\), не \(\varepsilon\)): \[ R=\frac{\varepsilon_0}{\lambda C}=\frac{1}{2\pi\lambda r}-\frac{1}{2\pi\lambda d}. \]
Член \(1/(2\pi\lambda d)\) — это \(0{,}00013\) Ом, им можно пренебречь. Остаётся \[ R\approx\frac{1}{2\pi\lambda r}=\frac{1}{2\pi\cdot4\cdot0{,}15}=\frac{1}{3{,}77}\approx0{,}27\ \text{Ом}. \]
Поверхность моря — изолятор (воздух). Её учитывают изображениями: над каждым шаром на высоте \(2h\) сидит «антишар». Поправка \(\sim1/(4\pi\lambda\cdot2h)\sim3\cdot10^{-4}\) Ом — ещё меньше.
В ответах задачника стоит \(0{,}14\) Ом — это \(1/(4\pi\lambda r)\), сопротивление одного шара на бесконечность. Между двумя шарами ток проходит «два заземления» подряд, поэтому правильнее \(0{,}27\) Ом. Порядок тот же: десятые доли ома, море — отличный проводник.