На медные электроды, погружённые в большой сосуд с подсоленной водой, подаётся постоянное напряжение. С помощью зонда, подсоединённого к высокоомному вольтметру, можно получить «карту» эквипотенциалей. Как по данным этой карты определить направление линий тока и плотность тока? Почему электрическое поле в воде такое же, как и для электродов в вакууме при том же напряжении между ними?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Зонд с высокоомным вольтметром не отбирает ток и показывает потенциал точки. Сняв сетку эквипотенциалей \(\varphi=\text{const}\), мы знаем поле: \(\mathbf{E}\) направлено по нормали к эквипотенциали, в сторону убывания \(\varphi\), а по величине равно \(\Delta\varphi/\Delta n\), где \(\Delta n\) — расстояние между соседними линиями.
Закон Ома \(\mathbf{j}=\lambda\mathbf{E}\) сразу даёт и направление, и величину тока: \[ \mathbf{j}\perp\text{эквипотенциалям},\qquad j=\lambda\frac{\Delta\varphi}{\Delta n}. \]
Почему картина \(\varphi\) такая же, как у тех же электродов в вакууме? В однородной воде \(\lambda=\text{const}\); в стационаре ток нигде не накапливает заряд, поэтому поток \(\mathbf{j}\) — а с ним и поток \(\mathbf{E}=\mathbf{j}/\lambda\) — через любую замкнутую поверхность равен нулю: по теореме Гаусса объёмного заряда нет. На поверхности медных электродов \(\varphi=\text{const}\) (медь проводит несравненно лучше воды). На бесконечности (большой сосуд) \(\varphi\to0\). Это в точности электростатическая задача для двух проводников в вакууме. Меняется только «перевод» поля в ток: \(j=\lambda E\). Само \(E\) от \(\lambda\) не зависит и определяется одной геометрией и заданным напряжением.
Именно поэтому электролитическая ванна — стандартный аналоговый способ рисовать электростатические поля сложной формы.