Радиусы обкладок сферического конденсатора соответственно \(r_1\) и \(r_2\), заряд \(\pm q\). Найдите сопротивление и ток утечки в этом конденсаторе, если между обкладками находится вещество с диэлектрической проницаемостью \(\varepsilon\) и удельной проводимостью \(\lambda\).
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Разобьём промежуток между обкладками на тонкие сферические оболочки толщины \(dr\). Площадь оболочки \(4\pi r^2\), её сопротивление \[ dR=\frac{dr}{\lambda\cdot4\pi r^2}. \] Оболочки включены последовательно (ток радиальный, один и тот же через каждую): \[ R=\int_{r_1}^{r_2}\frac{dr}{4\pi\lambda r^2}=\frac{1}{4\pi\lambda}\Bigl(\frac{1}{r_1}-\frac{1}{r_2}\Bigr). \]
Ёмкость сферического конденсатора, заполненного диэлектриком \(\varepsilon\), \[ C=4\pi\varepsilon\varepsilon_0\Bigl(\frac{1}{r_1}-\frac{1}{r_2}\Bigr)^{-1}, \] поэтому напряжение при заряде \(q\) есть \(V=q/C\): \[ V=\frac{q}{4\pi\varepsilon\varepsilon_0}\Bigl(\frac{1}{r_1}-\frac{1}{r_2}\Bigr). \]
Ток утечки \[ I=\frac{V}{R}=\frac{\lambda q}{\varepsilon\varepsilon_0}. \] Геометрия сократилась целиком. Заряд конденсатора тает по закону \(\dot q=-I=-q/\tau\) с \(\tau=\varepsilon\varepsilon_0/\lambda\) — тем же максвелловским временем, что в задачах 8.2.11 и 8.2.17.