После заполнения конденсатора средой с удельной проводимостью \(\lambda\) и диэлектрической проницаемостью \(\varepsilon\) сопротивление между его зажимами оказалось равным \(R\). Найдите ёмкость конденсатора. Зависит ли результат от конструкции конденсатора?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Пусть между обкладками однородная среда с константами \(\lambda\) и \(\varepsilon\). В стационаре \(\operatorname{div}\mathbf{j}=0\), на обкладках \(\varphi=\text{const}\). Поле \(\mathbf{E}\) решает ту же краевую задачу, что электростатическое поле пустого конденсатора при том же напряжении \(V\).
Ток утечки \(I=\oint j\,dS=\lambda\oint E_n\,dS\). Но \(\oint D_n\,dS=q=CV\) и \(D=\varepsilon\varepsilon_0 E\), поэтому \[ I=\lambda\cdot\frac{CV}{\varepsilon\varepsilon_0}. \] Сопротивление между зажимами \(R=V/I\), откуда \[ RC=\frac{\varepsilon\varepsilon_0}{\lambda}\qquad\Longrightarrow\qquad C=\frac{\varepsilon\varepsilon_0}{\lambda R}. \]
Ни площадь пластин, ни зазор, ни «краевые эффекты» в ответ не вошли: они сидят и в \(C\), и в \(R\) одинаковым геометрическим множителем и сокращаются. Результат не зависит от конструкции — лишь бы среда была однородна и заполняла всё поле конденсатора (включая края).
Это та же теорема, которой мы уже пользовались для шара (8.2.17) и сферического конденсатора (8.2.20). Теперь она доказана в общем виде.