Где на нижней и верхней поверхностях круглой проводящей пластины нужно расположить электрические контакты, чтобы сопротивление между ними было минимальным?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Круглая пластина — диск конечной толщины. Контакты точечные (или маленькие) и лежат на противоположных плоских сторонах. Ток втекает в один контакт, растекается по объёму диска и вытекает в другой.
Сопротивление такого «насквозь»-соединения складывается из сопротивления растекания у каждого контакта и сопротивления толщины. Сопротивление растекания минимально, когда вокруг контакта больше всего материала: край диска не «отрезает» полупространство. Это выполняется в центре. Кроме того, если контакты стоят точно друг напротив друга, путь через толщину кратчайший, а линии тока не делают лишнего крюка.
Сдвинем оба контакта к краю, по-прежнему друг против друга. Часть телесного угла, в которую мог бы течь ток, теперь занята воздухом — эффективное сечение меньше, сопротивление растёт. Сдвинем их так, чтобы они не стояли друг против друга, — ток пойдёт наискосок, путь удлинится, сопротивление снова вырастет.
Строго это следует из принципа Томсона: при заданных электродах истинное распределение тока минимизирует джоулевы потери \(I^2R\). Любое «прижатие» к краю или перекос увеличивает \(\int j^2/\lambda\,dV\) при том же полном токе, то есть увеличивает \(R\).
Итак, минимум — контакты в центре, друг напротив друга, на разных сторонах пластины.