Почему при рассмотрении электрического тока в веществе кинетическую энергию носителей тока, связанную с их упорядоченным движением, не учитывают? Оцените кинетическую энергию одного электрона (в электрон-вольтах) при токе \(I=100\) А в проволочке из натрия сечения \(S=1\) мм\(^2\). Число электронов проводимости в единице объёма проволочки \(n_e=2{,}5\cdot10^{22}\) см\(^{-3}\).
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Ток \(I=100\) А в натриевой проволочке сечения \(S=1\) мм\(^2=10^{-6}\) м\(^2\). Концентрация электронов проводимости дана в удобных, но коварных единицах: \[ n_e=2{,}5\cdot10^{22}\ \text{см}^{-3}=2{,}5\cdot10^{28}\ \text{м}^{-3}. \] Скорость дрейфа из \(I=en_eSv\): \[ v=\frac{I}{en_eS} =\frac{100}{1{,}6\cdot10^{-19}\cdot2{,}5\cdot10^{28}\cdot10^{-6}} =\frac{100}{4\cdot10^{3}}=0{,}025\ \frac{\text{м}}{\text{с}} \] — два с половиной сантиметра в секунду, и это при чудовищном токе в сто ампер на квадратный миллиметр (обычная проводка несёт амперы, не сотни).
Кинетическая энергия одного электрона, связанная именно с этим упорядоченным движением: \[ K=\frac12 m_ev^2 =\frac12\cdot9{,}1\cdot10^{-31}\cdot(0{,}025)^2 =\frac12\cdot9{,}1\cdot10^{-31}\cdot6{,}25\cdot10^{-4} =2{,}8\cdot10^{-34}\ \text{Дж}. \] В электрон-вольтах (\(1\) эВ \(=1{,}6\cdot10^{-19}\) Дж): \[ K=\frac{2{,}8\cdot10^{-34}}{1{,}6\cdot10^{-19}}\approx1{,}8\cdot10^{-15}\ \text{эВ} \approx2\cdot10^{-15}\ \text{эВ}. \]
Для сравнения: тепловая энергия \(kT\approx0{,}025\) эВ при комнате, энергия Ферми натрия \(\varepsilon_F\sim3\) эВ. Упорядоченная добавка меньше тепловой в \(10^{13}\) раз. Именно поэтому её не учитывают: она не меняет ни теплоёмкость, ни химический потенциал, ни давление электронного газа.
Куда же тогда девается энергия источника? В джоулево тепло. Электрон между ударами набирает энергию \(eE\ell\), а при ударе об ион почти всю её отдаёт решётке. Это \(\sim10^{-8}\)–\(10^{-6}\) эВ за пробег — тоже мало, но ударов \(10^{14}\) в секунду, и в сумме выходит \(I^2R\). Дрейфовая кинетика здесь ни при чём: она стационарна и не растёт.