Лента состоит из узких проводящих полосок с ещё более узкими изолирующими зазорами. Она соприкасается с одной пластиной конденсатора и с небольшим контактом, между которыми включено сопротивление \(R\). До этого лента не была заряжена, а заряд пластин конденсатора был \(\pm q\). Длина пластин \(l\), а их ширина совпадает с шириной ленты. Ленту вытягивают из конденсатора с силой \(F\). Найдите ток через сопротивление и установившуюся скорость ленты. Расстояние от края пластин конденсатора до контакта много больше расстояния между ними и много меньше их длины.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Конденсатор заряжен \(\pm q\), длина пластин \(l\). Линейная плотность заряда на пластине \(\tau=q/l\). Лента состоит из узких проводящих полосок, разделённых изоляторами: каждая полоска, выходя из конденсатора, уносит свой кусок заряда и больше не делится им с соседями. Значит, заряд, покидающий конденсатор за время \(dt\), равен \(\tau\cdot v\,dt\), и ток через сопротивление \[ I=\tau v=\frac{q}{l}v. \]
Этот ток течёт через \(R\) от ленты (через контакт) обратно на пластину. Пока лента движется равномерно, заряд конденсатора не меняется: сколько унесли, столько же вернулось через \(R\). Меняется только то, где сидит заряд — часть его едет на ленте снаружи.
Сила \(F\), с которой тянут ленту, в стационаре уравновешивает электростатическое притяжение заряженной ленты к обкладкам. Мощность этой силы есть \(Fv\). Других каналов нет: лента не ускоряется, конденсатор не меняет энергию в среднем. Вся мощность садится джоулевым теплом на \(R\): \[ Fv=I^2R. \]
Исключаем \(v=Il/q\): \[ F\cdot\frac{Il}{q}=I^2R\qquad\Longrightarrow\qquad I=\frac{Fl}{qR}. \] Тогда скорость \[ v=\frac{Il}{q}=\frac{Fl^2}{q^2R}. \]
Условие «расстояние до контакта много больше зазора и много меньше \(l\)» нужно, чтобы край конденсатора был «стандартным» и чтобы почти весь унесённый заряд успевал стечь через \(R\), не создавая длинного заряженного «хвоста» с плохо определённой ёмкостью.