В генераторе Ван де Граафа носители заряда, «приклеившиеся» к непроводящей ленте, переносятся против поля. Внутри шара заряды снимаются с ленты сильным полем, локализованным на контактной щётке. Необходимую для движения ленты энергию может поставлять электродвигатель, бензиновый мотор или рука человека. Полный заряд на ленте \(q\), её длина \(l\), сопротивление между шаром и землёй \(R\). Определите установившийся потенциал шара в двух случаях: а) лента движется с постоянной скоростью \(v\); б) ленту двигают, прикладывая к ней постоянную силу \(F\).
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
На ленте сидит полный заряд \(q\), длина ленты \(l\), линейная плотность \(\tau=q/l\). Лента движется со скоростью \(v\) и вносит внутрь шара ток \[ I=\frac{q}{l}v. \]
Внутри полого шара поле внешних зарядов равно нулю, поэтому снять заряд с ленты легко: щётка работает в «эквипотенциальной комнате». Снятый заряд растекается по внешней поверхности шара. В стационаре столько же стекает на землю через сопротивление \(R\), и потенциал шара \[ \varphi=IR. \]
а. Скорость постоянна. Тогда ток известен сразу, и \[ \varphi=\frac{qvR}{l}. \] Чем быстрее гоняют ленту и чем больше на ней заряда, тем выше шар. Ограничение — пробой воздуха: \(\varphi\sim1\) МВ при радиусе шара порядка метра.
б. Постоянная сила \(F\). Теперь \(v\) сама подстроится. Сила работает против электрического поля, которое тормозит заряды ленты на пути к шару. На длине \(l\) заряд \(q\) поднимается на потенциал \(\varphi\), работа \(q\varphi\). Мощность силы \(Fv\) в стационаре равна электрической мощности, отдаваемой в цепь: \[ Fv=I\varphi=\frac{q}{l}v\cdot\varphi. \] Сокращаем \(v\) (считаем \(v\ne0\)): \[ \varphi=\frac{Fl}{q}. \]
Любопытно: \(R\) из ответа пропало. Потенциал зафиксирован балансом работ, а скорость подстроится так, чтобы \(I=\varphi/R\): \(v=\varphi l/(qR)=Fl^2/(q^2R)\) — в точности как в предыдущей задаче.