Савченко · Глава 8. Электрический ток · § 8.2. Проводимость. Сопротивление. Источники ЭДС

Савченко, задача 8.2.28

Задача 8.2.28график потенциала в цепи с ЭДС
Условие

Не углубляясь в вопрос о происхождении сторонних сил, постройте график потенциала разомкнутой и замкнутой цепи с сопротивлением \(R\). На участке цепи длины \(l\) сторонняя сила, отнесённая к единице заряда, равна \(E_c\), вне этого участка — нулю. Какую энергию на единицу заряда передаёт источник сторонних сил на участке \(l\)?

E_c, l R цепь φ x ступенька ε спад IR
К задаче 8.2.28. График потенциала: подъём E_c l внутри источника, спад на R.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Решение
Идея Стороннее поле \(E_c\) на длине \(l\) создаёт ЭДС \(\mathcal{E}=E_cl\). Это работа сторонних сил на единицу заряда — она же «ступенька» потенциала внутри источника. На нагрузке потенциал линейно падает на \(IR\).

Сторонние силы — всё, что гонит заряд не кулоновским полем: химия на электродах, ремень Ван де Граафа, рука, крутящая диск Хольца. Их напряжённость \(E_c\) сидит только на участке длины \(l\). Работа сторонних сил на единицу заряда вдоль этого участка и есть ЭДС: \[ \mathcal{E}=\int E_c\,dl=E_cl. \] Это и есть энергия, которую источник передаёт единице прошедшего заряда. Вне участка \(E_c=0\).

Разомкнутая цепь. Тока нет, на резисторе падения нет. Кулоновское поле внутри источника в точности уравновешивает стороннее: \(E=-E_c\) на участке \(l\), и потенциал растёт вдоль \(E_c\) на \(\mathcal{E}\). Снаружи провода эквипотенциальны (тока нет, \(E=0\)). На зажимах видна полная ЭДС. График \(\varphi(x)\): горизонталь, затем линейный подъём на \(\mathcal{E}\) вдоль \(l\), снова горизонталь — «ступенька».

Замкнутая цепь (внутренним сопротивлением источника пренебрегаем). Ток \(I=\mathcal{E}/R\). На резисторе потенциал линейно падает на \(IR=\mathcal{E}\). Внутри источника сторонние силы по-прежнему поднимают потенциал на \(\mathcal{E}\), так что, обойдя контур, мы вернулись к тому же значению — как и должно быть для однозначного \(\varphi\).

Если у источника есть внутреннее \(r\), на нём сидит ещё одно линейное падение \(Ir\), и на зажимах остаётся \(V=\mathcal{E}-Ir\). Ступенька \(\mathcal{E}\) никуда не делась: она — работа сторонних сил, а не кулоновское падение.

Проверка. Обход контура: \(\oint E\,dl=0\) в квазистационарном режиме (магнитный поток не меняется), поэтому сумма падений на резисторах равна сумме ЭДС. Это и есть второе правило Кирхгофа. Энергия на единицу заряда, отданная источником, всегда \(E_cl\), независимо от того, замкнута цепь или нет: при разомкнутой цепи ток нуль, мощность нуль, но «тариф» тот же.
Ответ\(W=E_cl=\mathcal{E}\); график — ступенька \(\mathcal{E}\) на участке \(l\), линейный спад на \(R\).
Следующая задача 8.2.29 →