Противо-ЭДС одной электролитической ванны \(\mathcal{E}\). Имеется конденсатор, заряженный до напряжения \(V\gg\mathcal{E}\). Сколько одинаковых ванн нужно соединить последовательно, чтобы, разрядив конденсатор, выделить на них максимальную массу металла из раствора соли?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Конденсатор заряжен до \(V\gg\mathcal{E}\). Соединяем его с \(k\) одинаковыми ваннами последовательно. Каждая ванна имеет противо-ЭДС \(\mathcal{E}\) (разложение соли, осаждение металла). Ток идёт, пока напряжение конденсатора больше \(k\mathcal{E}\). Прошедший заряд \[ q=C\bigl(V-k\mathcal{E}\bigr). \]
По закону Фарадея масса, выделившаяся в одной ванне, пропорциональна \(q\). В \(k\) ваннах суммарная масса \[ m\propto kq\propto k\bigl(V-k\mathcal{E}\bigr)=kV-k^2\mathcal{E}. \]
Это квадратичная функция \(k\). Считаем \(k\) непрерывным и берём производную: \[ \frac{dm}{dk}\propto V-2k\mathcal{E}=0\qquad\Longrightarrow\qquad k=\frac{V}{2\mathcal{E}}. \]
Поскольку \(V\gg\mathcal{E}\), это большое целое число, и замена дискретного \(k\) непрерывным законна. Вторая производная отрицательна — максимум. При этом прошедший заряд равен половине исходного: \(q=C(V-V/2)=CV/2\), и суммарная химическая энергия \(k\mathcal{E}\cdot q=CV^2/4\) составляет ровно половину исходной энергии конденсатора \(CV^2/2\). Вторая половина ушла в джоулево тепло на омическом сопротивлении ванн и проводов.