Проволочное металлическое кольцо радиуса \(r=0{,}1\) м вращается с угловой скоростью \(\Omega=10^3\) рад/с. Определите, какой ток пойдёт через кольцо при равномерном замедлении в течение времени \(\tau=10^{-3}\) с его вращения до полной остановки. Сечение проволоки \(s=0{,}5\) см\(^2\), удельная проводимость металла \(\lambda=6\cdot10^7\) См/м.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Кольцо радиуса \(r\) вращалось с угловой скоростью \(\Omega\) и за время \(\tau\) равномерно остановилось. Касательное ускорение точек проволоки \[ a=\frac{\Omega r}{\tau}. \] (Линейная скорость обода была \(\Omega r\), она упала до нуля за \(\tau\).)
Перейдём в систему отсчёта проволоки. Она неинерциальна: на каждый электрон действует сила инерции \(-m_e\mathbf{a}\), направленная по касательной — туда, куда кольцо ещё «хотело» ехать. Эквивалентное электрическое поле \[ E_{\text{эфф}}=\frac{m_e a}{e}=\frac{m_e\Omega r}{e\tau}. \]
Плотность тока \(j=\lambda E_{\text{эфф}}\), полный ток через сечение проволоки \(s\): \[ I=j s=\lambda s\frac{m_e\Omega r}{e\tau}. \]
Подставляем числа. Сечение \(s=0{,}5\) см\(^2=5\cdot10^{-5}\) м\(^2\), \(\lambda=6\cdot10^7\) См/м, \(r=0{,}1\) м, \(\Omega=10^3\) рад/с, \(\tau=10^{-3}\) с: \[ I=6\cdot10^7\cdot5\cdot10^{-5}\cdot\frac{9{,}1\cdot10^{-31}\cdot10^3\cdot0{,}1}{1{,}6\cdot10^{-19}\cdot10^{-3}}. \] Сначала дробь: числитель \(9{,}1\cdot10^{-29}\), знаменатель \(1{,}6\cdot10^{-22}\), отношение \(5{,}7\cdot10^{-7}\). Затем \(6\cdot10^7\cdot5\cdot10^{-5}=3\cdot10^3\), и \[ I=3\cdot10^3\cdot5{,}7\cdot10^{-7}=1{,}7\cdot10^{-3}\ \text{А}=1{,}7\ \text{мА}. \]
Ток течёт, пока есть ускорение. Когда кольцо остановится, \(E_{\text{эфф}}\) исчезнет, и ток спадёт за максвелловское время релаксации металла (\(\sim10^{-19}\) с) — то есть мгновенно.