В мосте Уитстона сопротивления подбирают таким образом, что чувствительный гальванометр, подключённый к точкам \(A\) и \(B\), показывает нуль. Считая сопротивления \(R_1\), \(R_2\), \(r\) известными, определите сопротивление \(r_x\). Если поменять местами батарею и гальванометр, то снова получится мостовая схема. Сохраняется ли баланс в новой схеме?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Мост Уитстона: четыре резистора образуют ромб. В одну диагональ включена батарея, в другую — гальванометр между точками \(A\) и \(B\). Плечи: \(R_1\) и \(R_2\) в одной ветви-делителе, \(r\) и \(r_x\) — в другой.
Гальванометр показывает нуль \(\Leftrightarrow\) ток через перемычку \(AB\) равен нулю \(\Leftrightarrow\) \(\varphi_A=\varphi_B\). Тогда каждая ветвь — независимый делитель. От верхней вершины (пусть потенциал \(V\)) до нижней (нуль): \[ \varphi_A=V\cdot\frac{R_2}{R_1+R_2},\qquad \varphi_B=V\cdot\frac{r_x}{r+r_x}. \]
Равенство потенциалов: \[ \frac{R_2}{R_1+R_2}=\frac{r_x}{r+r_x}\qquad\Longrightarrow\qquad \frac{R_1}{R_2}=\frac{r}{r_x}\qquad\Longrightarrow\qquad r_x=r\frac{R_2}{R_1}. \]
Батарею и гальванометр поменяли местами. Теперь питание идёт по бывшей «измерительной» диагонали, а нуль-индикатор сидит на бывшей «питающей». Условие баланса — по-прежнему \(\varphi_A=\varphi_B\) при нулевом токе через индикатор, и оно снова сводится к равенству отношений плеч. Те же четыре резистора, то же отношение. Баланс сохраняется.
Это проявление взаимности: четырёхполюсник из резисторов симметричен, \(Z_{12}=Z_{21}\). Если при питании со стороны 1 ток через 2 равен нулю, то и наоборот.