Участок схемы состоит из неизвестных сопротивлений. Как, имея амперметры, вольтметр, батарею и соединительные провода, измерить сопротивление \(R\), не разрывая ни одного контакта в схеме?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Пусть искомое \(R\) стоит между узлами \(A\) и \(B\), в схеме есть ещё узел \(C\) и общий узел \(O\) (типичная «звезда» или фрагмент моста — так нарисовано в задачнике). Контакты разрывать нельзя, но подключаться к узлам снаружи можно.
Делаем так.
1. Батарею — между \(A\) и \(O\). Она задаёт токи по всем ветвям, выходящим из \(A\).
2. Точки \(A\) и \(B\) соединяем толстым проводом. Теперь \(A\) и \(B\) — эквипотенциаль, и ток через искомое \(R\) равен полному току, который втекает в «остров» \(C\) и обязан вернуться через \(R\) (других путей с \(C\) на эквипотенциаль \(AB\) по схеме как раз два: \(CA\) и \(CB\), и мы их контролируем).
3. Амперметры — в перемычки \(CA\) и \(CB\). Они показывают \(I_{CA}\) и \(I_{CB}\). Сумма \[ I_R=I_{CA}+I_{CB} \] есть ток через \(R\): всё, что ушло в \(C\), возвращается через \(R\) на закороченные \(A,B\).
4. Вольтметр — между \(C\) и \(O\). После закорачивания \(AB\) потенциал точек \(A\) и \(B\) совпадает, и напряжение на \(R\) равно показанию вольтметра (в топологии задачника \(R\) фактически оказывается между эквипотенциалью \(AB\) и точкой, потенциал которой меряют; эквивалентная запись \(R=V/I_R\)).
Итого \[ R=\frac{V}{I_{CA}+I_{CB}}. \]
Ни один заводской контакт схемы не разорван: мы только подключались снаружи и добавили временную перемычку \(AB\).