а. Каким должно быть сопротивление \(r\), чтобы входное сопротивление между клеммами было равно тоже \(r\)?
б*. Какое сопротивление \(r\) нужно присоединить к клеммам \(C\) и \(D\), чтобы сопротивление всей цепочки между клеммами \(A\) и \(B\) не зависело от числа элементарных ячеек?
в. Полный ток в цепи равен \(I\). Определите токи в \(n\)-й ячейке, если цепочка сопротивлений бесконечна. Чему равно сопротивление такой цепочки?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Ячейка задачника — «буква Т» из трёх резисторов \(R\) (два последовательных плеча и шунт посередине) либо эквивалентная ей \(L\)-ячейка «\(2R\) подряд и шунт \(R\)»; ответы согласованы со второй картинкой, привычной в задачнике. Будем её держаться: продольное плечо \(2R\), поперечный шунт \(R\).
а. К выходу ячейки подключено \(r\), и вход тоже должен равняться \(r\): \[ r=R+\frac{R(R+r)}{2R+r} \] — если Т-звено из трёх равных \(R\). Умножаем на \(2R+r\): \[ r(2R+r)=R(2R+r)+R(R+r)=3R^2+2Rr,\qquad r^2=3R^2\qquad\Longrightarrow\qquad r=\sqrt{3}\,R \] (положительный корень). Это сопротивление, при котором одна ячейка «не видна»: вход равен нагрузке.
б. Теперь хотим, чтобы добавление любой числа ячеек не меняло вход между \(A\) и \(B\). На хвост \(CD\) нужно повесить как раз итерационное сопротивление. Смотрим на ячейку «со стороны шунта»: \[ r=R\parallel(2R+r)=\frac{R(2R+r)}{3R+r}. \] \(r(3R+r)=2R^2+Rr\), \(r^2+2Rr-2R^2=0\), \[ r=R(-1+\sqrt{3})=(\sqrt{3}-1)R. \]
в. Бесконечная цепочка. Пусть \(Z\) — её вход, смотрим «с последовательного плеча»: \[ Z=2R+(R\parallel Z)=2R+\frac{RZ}{R+Z}. \] \(Z(R+Z)=2R(R+Z)+RZ\), \(Z^2-2RZ-2R^2=0\), \[ Z=R(1+\sqrt{3}) \] (положительный корень). Коэффициент передачи тока в следующую ячейку — делитель на шунте: \[ \frac{I_{n+1}}{I_n}=\frac{R}{R+Z}=\frac{R}{R+R(1+\sqrt{3})}=\frac{1}{2+\sqrt{3}}=2-\sqrt{3}. \] Поэтому через продольное плечо \(n\)-й ячейки \[ I_n=I(2-\sqrt{3})^{n-1}. \] Остаток цепочки после продольного плеча имеет сопротивление \(Z_{\text{ост}}=Z-2R=R(\sqrt{3}-1)\). Ток шунта — делитель между \(R\) и этим хвостом: \[ I'_n=I_n\cdot\frac{Z-2R}{R+(Z-2R)}=I(2-\sqrt{3})^{n-1}(\sqrt{3}-1). \]
Входное сопротивление цепочки \(R_0=Z=(\sqrt{3}+1)R\).