Сопротивления \(R_1,R_2,R_3\) в схеме и ток \(I_3\), протекающий через сопротивление \(R_3\), известны. Определите токи через сопротивления \(R_1\) и \(R_2\) и напряжение на батарее.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Пусть \(R_2\parallel R_3\), а \(R_1\) питает эту пару от батареи (так нарисовано в задачнике). Тогда напряжение на \(R_2\) и на \(R_3\) одно и то же: \[ I_2 R_2=I_3 R_3\qquad\Longrightarrow\qquad I_2=I_3\frac{R_3}{R_2}. \]
Первое правило Кирхгофа в узле параллели: ток через \(R_1\) есть сумма \[ I_1=I_2+I_3=I_3\Bigl(\frac{R_3}{R_2}+1\Bigr)=I_3\frac{R_2+R_3}{R_2}. \]
Напряжение батареи — сумма падений на \(R_1\) и на параллели: \[ V=I_1 R_1+I_3 R_3 =I_3\frac{R_2+R_3}{R_2}\,R_1+I_3 R_3 =I_3\frac{R_1 R_2+R_1 R_3+R_2 R_3}{R_2}. \]
Это же можно прочитать как \(V=I_1(R_1+R_2\parallel R_3)\): \[ R_2\parallel R_3=\frac{R_2 R_3}{R_2+R_3},\qquad I_1=I_3\frac{R_2+R_3}{R_2}, \] и произведение снова даёт ту же формулу. Третий путь — эквивалентное сопротивление всей цепи \(R_{\text{экв}}=R_1+R_2\parallel R_3\), \(V=I_1 R_{\text{экв}}\).