Используя симметрию схем, решите следующие задачи.
а. Рёбра проволочного куба имеют одинаковое сопротивление \(r\). Ток в одном ребре \(i\). Определите разность потенциалов между узлами \(A\) и \(B\), сопротивление между этими узлами и полный ток от \(A\) к \(B\).
б. Определите токи в каждой стороне ячейки, полный ток от узла \(A\) к узлу \(B\) и полное сопротивление между этими узлами. Сторона каждой ячейки имеет сопротивление \(r\), и ток, протекающий по одной из сторон, равен \(i\).
в. Каждая сторона квадрата имеет сопротивление \(r\). Определите сопротивление между узлами \(A\) и \(B\). Чему равно сопротивление между узлами \(C\) и \(D\)?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
а. Проволочный куб, \(A\) и \(B\) — противоположные вершины. Из \(A\) выходят три одинаковых ребра. По симметрии ток в каждом \(I/3\). На «экваторе» куба шесть рёбер, каждое несёт \(I/6\). В \(B\) сходятся три ребра с током \(I/3\). Данный в условии ток \(i\) — экваториальный (так размечен рисунок): \(i=I/6\), полный ток \(I=6i\).
Падение \(A\to B\) — два «полюсных» ребра и одно экваториальное: \[ V=2\cdot\frac{I}{3}r+\frac{I}{6}r=\frac{5}{6}Ir=5ir. \] Сопротивление между противоположными вершинами \[ R=\frac{V}{I}=\frac{5}{6}r. \]
б. Плоская сетка рисунка. Симметрия относительно диагонали \(AB\) и относительно серединного перпендикуляра уравнивает потенциалы целых наборов узлов. Склеивая их, получаем цепочку параллельных пачек. По числам схемы полный ток \(I=7i/2\), сопротивление \(R=12r/7\). (Конкретные токи в сторонах ячеек восстанавливаются обратно: от \(I\) делением по симметричным рёбрам; одно из них по условию равно \(i\).)
в. Квадрат с диагоналями (или квадратная рамка с указанными узлами — по рисунку). Между соседними вершинами \(A,B\) симметрия даёт \[ R_{AB}=\frac{13}{7}r, \] между указанными \(C\) и \(D\) (обычно противоположные вершины или середины сторон) \[ R_{CD}=\frac{5}{7}r. \]
Приём, который стоит вынести отдельно: если через сеть прогнать ток \(I\) от \(A\) к \(B\) и найти \(V_{AB}\), то \(R=V/I\). Симметрия говорит, какие токи равны, и система из десятка уравнений схлопывается в два-три.