а. Если в бесконечной схеме, состоящей из квадратных ячеек, через один узел \(A\) подводят ток \(i\), а через соседний узел \(B\) отводят ток \(i\), то какой ток идёт по сопротивлению, соединяющему узлы \(A\) и \(B\)? Каково эквивалентное сопротивление цепи между этими узлами, если сопротивление стороны ячейки \(r\)?
б. Каково эквивалентное сопротивление между соседними узлами бесконечной кубической арматуры, если сопротивление ребра куба \(r\)?
в. Определите сопротивление между узлами \(A\) и \(B\) двумерной бесконечной сетки с ячейками в виде правильных шестиугольников и узлами \(C\) и \(A\), расположенными через один соседний узел. Сторона каждой ячейки имеет сопротивление \(r\).
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
а. Квадратная сетка, соседние узлы. Из каждого узла выходят \(z=4\) ребра. Картина 1: ток \(i\) втекает в \(A\) и уходит на бесконечность. По симметрии на каждом из четырёх рёбер, выходящих из \(A\), ток \(i/4\), в том числе на \(AB\) — от \(A\) к \(B\). Картина 2: ток \(i\) вытекает из \(B\) (то есть втекает в бесконечность и собирается в \(B\)). На каждом ребре, входящем в \(B\), ток \(i/4\), в том числе на \(AB\) — снова от \(A\) к \(B\). Сумма: \[ I_{AB}=\frac{i}{4}+\frac{i}{4}=\frac{i}{2}. \]
Падение \(V_{AB}=I_{AB}\cdot r=ir/2\). Полный ток, который мы реально гоним от \(A\) к \(B\), равен \(i\). Значит \[ R_{AB}=\frac{V_{AB}}{i}=\frac{r}{2}. \]
б. Кубическая решётка. Из узла выходят \(z=6\) рёбер. Та же суперпозиция даёт \(I_{\text{ребро}}=i/6+i/6=i/3\), \[ R=\frac{(i/3)r}{i}=\frac{r}{3}. \]
в. Гексагональная сетка (пчёлы: из узла три ребра, \(z=3\)). Соседние \(A\) и \(B\): \[ R_{AB}=\frac{(i/3+i/3)r}{i}=\frac{2r}{3}. \]
Узлы \(C\) и \(A\) «через один». Здесь общее ребро уже не соединяет их напрямую, и простой трюк \(i/z+i/z\) не работает. Включают ещё одну суперпозицию (впрыск в \(A\), сток в \(C\)) и симметрию относительно середины отрезка \(AC\); стандартный результат \[ R_{AC}=r. \]
Замечание. Формула \(R=2r/z\) верна только для соседних узлов. Для дальних сопротивление растёт (в 2D — логарифмически, в 3D — выходит на константу).