Две батареи с ЭДС \(\mathcal{E}_1=20\) В, \(\mathcal{E}_2=30\) В и внутренними сопротивлениями соответственно \(r_1=4\) Ом, \(r_2=60\) Ом соединены параллельно. Каковы параметры \(\mathcal{E}\) и \(r\) генератора, которым можно заменить батареи без изменения тока в нагрузке?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Два источника \(\mathcal{E}_1,r_1\) и \(\mathcal{E}_2,r_2\) включены параллельно (плюсы вместе, минусы вместе). Ищем Тевенин этой пары.
Внутреннее сопротивление. Гасим ЭДС (заменяем перемычками), остаются \(r_1\parallel r_2\): \[ r=\frac{r_1 r_2}{r_1+r_2}=\frac{4\cdot60}{64}=3{,}75\ \text{Ом}. \]
ЭДС. Холостой ход: ток через нагрузку нуль, в кольце двух батарей идёт свой ток \(I_{\text{кольцо}}=(\mathcal{E}_2-\mathcal{E}_1)/(r_1+r_2)\). Напряжение на общих клеммах \[ \mathcal{E}=\mathcal{E}_1+I_{\text{кольцо}}r_1 =\mathcal{E}_1+\frac{(\mathcal{E}_2-\mathcal{E}_1)r_1}{r_1+r_2} =\frac{\mathcal{E}_1 r_2+\mathcal{E}_2 r_1}{r_1+r_2}. \]
Та же формула из «среднего по проводимостям»: \[ \mathcal{E}=\frac{\mathcal{E}_1/r_1+\mathcal{E}_2/r_2}{1/r_1+1/r_2}. \]
Числа: \(\mathcal{E}_1=20\) В, \(r_1=4\) Ом, \(\mathcal{E}_2=30\) В, \(r_2=60\) Ом: \[ \mathcal{E}=\frac{20\cdot60+30\cdot4}{64}=\frac{1320}{64}=20{,}625\ \text{В}\approx21\ \text{В}. \] В задачнике стоит 21 В — обычное школьное округление. При \(r_2\gg r_1\) эквивалент близок к первой батарее (20 В и 4 Ом); вторая лишь чуть поднимает ЭДС и чуть снижает \(r\), как и должно быть у «вялого» источника с \(r_2=60\) Ом.
Итак, \[ \mathcal{E}=21\ \text{В},\qquad r=3{,}75\ \text{Ом}. \]