Савченко · Глава 8. Электрический ток · § 8.3. Электрические цепи

Савченко, задача 8.3.32

Задача 8.3.32вольтметр между разными r

Условие

Найдите показания вольтметра, если внутреннее сопротивление одной батареи 3 Ом, а другой 1 Ом. ЭДС каждой батареи 1,5 В.

К задаче 8.3.32. Две батареи 1,5 В (3 Ом и 1 Ом) и вольтметр.

▶Посмотреть решениеСкрыть решение

Решение

Идея Батареи встречно-параллельно, внутренние разные. Уравнительный ток создаёт на внутренних разные падения, и на общих клеммах остаётся напряжение \(\mathcal{E}(r_2-r_1)/(r_1+r_2)\).

Две батареи по \(1{,}5\) В, \(r_1=3\) Ом и \(r_2=1\) Ом, включены параллельно навстречу (плюс к минусу соседа — так вольтметр на общих клеммах показывает не ЭДС). Вольтметр высокоомный, внешнего тока нет: всё, что течёт, течёт в кольце двух батарей.

Ток в кольце. При встречном включении ЭДС складываются по контуру: \[ I=\frac{\mathcal{E}+\mathcal{E}}{r_1+r_2}=\frac{2\cdot1{,}5}{3+1}=0{,}75\ \text{А}. \] Напряжение на общих клеммах равно напряжению на любой из батарей: \[ V=\mathcal{E}-I r_1=1{,}5-0{,}75\cdot3=1{,}5-2{,}25=-0{,}75\ \text{В}. \] Модуль \(0{,}75\) В. Тот же результат даёт «взвешенная разность» \[ V=\frac{\mathcal{E}/r_1-\mathcal{E}/r_2}{1/r_1+1/r_2}=\mathcal{E}\frac{r_2-r_1}{r_1+r_2}=1{,}5\cdot\frac{1-3}{4}=-0{,}75\ \text{В}. \]

Если бы внутренние были равны, \(V=0\): симметричное кольцо задачи 8.3.31. Разница внутренних «перекашивает» падения, и на клеммах появляется напряжение.

Проверка. Второй обход: \(V=-1{,}5+0{,}75\cdot1=-1{,}5+0{,}75=-0{,}75\) В, тот же модуль. Сумма падений на \(r_1\) и \(r_2\): \(2{,}25+0{,}75=3\) В — две ЭДС. Энергия: обе батареи разряжаются, всё тепло \(I^2(r_1+r_2)=0{,}75^2\cdot4\approx2{,}25\) Вт, мощность ЭДС \(2\cdot1{,}5\cdot0{,}75=2{,}25\) Вт. Баланс сошёлся.

Ответ\(V=0{,}75\) В.

Следующая задача 8.3.33 →