Имеется проволока с сопротивлением \(R\), через которую можно без риска её пережечь пропускать ток, не превышающий \(I\). Какую наибольшую мощность может иметь электрический нагреватель, изготовленный из этой проволоки, при включении в сеть с напряжением \(V\ll IR\)? Проволоку можно разрезать на куски и соединять последовательно и параллельно.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Условие \(V\ll IR\) означает: если включить всю проволоку целиком, ток \(V/R\) много меньше допустимого \(I\), мощность \(V^2/R\ll I^2 R\) — обидно мало. Проволока недогружена.
Режем на \(k\) равных кусков и ставим их параллельно. Сопротивление куска \(R/k\), сопротивление батареи кусков \(R/k^2\). Ток через один кусок \(V\cdot k/R\) (на каждом куске полное \(V\)). Требуем, чтобы он не превысил \(I\): \[ \frac{kV}{R}\le I\qquad\Longrightarrow\qquad k\le\frac{IR}{V}. \]
Максимум при наибольшем целом \(k\approx IR/V\) (а это по условию велико, так что дискретностью можно пренебречь). Тогда каждый кусок несёт ровно \(I\), полный ток \(kI\), мощность \[ N=V\cdot kI=V\cdot\frac{IR}{V}\cdot I=I^2 R. \]
Это ровно та мощность, которую проволока рассеяла бы, если по ней целиком пустить ток \(I\). Мы «подогнали» схему так, чтобы каждая точка проволоки работала на предельном токе — лучше уже нельзя: дальше пережжём.
Последовательно-параллельные комбинации «не все куски одинаковы» хуже: часть проволоки будет недогружена, пока самая тонкая (или самая короткая) ветвь уже на пределе.